Matematické Fórum

100g · 13. 06. 2010 15:27

Napište rovnici kuželosečky ,když bude zadaná jedna souřadnice bodu T ?
Vysvětlil by jste mi to někdo na nějakém vzorovém příkladu? Děkuju :)

gadgetka · 13. 06. 2010 15:53

Nehledáš spíš rovnici tečny ke kuželosečce?

100g · 13. 06. 2010 16:13

Hele možná jo ...diktoval nám to učitel a celkem rychle ...... takže jestli tohle dává větší smysl tak jO!DÍK :)

gadgetka · 13. 06. 2010 16:38

Napište rovnici tečny paraboly $y^2=4x$ v bodě $T[?;2]$

Ypsilonovou souřadnici dosadíš do rovnice paraboly, abys získal x-ovou souřadnici bodu dotyku:

$2^2=4x\nl4=4x\nlx=1 \Rightarrow T[1;2]$

Obecná rovnice tečny: $ax+by+c=0$ , kde alespoň jeden z koeficientů $a$ nebo $b$ je nenulový, budeme předpokládat, že $a\ne 0$

Celou rovnici tečny vydělíme nenulovým koeficientem a:
$\frac{ax}{a}+\frac{by}{a}+\frac{c}{a}=0\nlx+\frac{b}{a}\cdot y+\frac{c}{a}=0$

Zavedeme substituci:
$\frac{b}{a}=m\nl\frac{c}{a}=n$
A dostáváme:
$x+my+n=0$

Dosadíme bod dotyku:
$1+2m+n=0\nln=-1-2m$

a dosadíme:
$x+my-1-2m=0$

Vyřešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
$y^2=4x \Rightarrow x=\frac{y^2}{4}\nlx+my-1-2m=0\nl\frac{y^2}{4}+my-1-2m=0|\cdot 4\nly^2+4my-4-8m=0$

Aby byla přímka tečnou, musí být diskriminant kvadratické rovnice roven nule:
$16m^2-4(-4-8m)=0\nl16m^2+16+32m=0|>16\nlm^2+2m+1=0\nlm=\frac{-2}{2}=-1\nln=-1-2m \Rightarrow n=1$

Dosadíme do rovnice:
$x+my+n=0$
a dostáváme rovnici tečny:
$x-y+1=0$