Matematické Fórum

kristýna · 30. 03. 2008 00:45

Ahoj potřebovala bych nutně pomoct s těmito příklady

1. příklad
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=arcsin(x%5E2%2B2x%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20)$
můj pokus to vypočítat

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=-1%5Cle%20x%5E2%2B2x%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5Cle%201$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=-1%5Cle%20%5Cfrac%7B4-%5Csqrt%7B6i%7D%7D%7B2%7D%20%5Cle%201%20%20%20%20%20$ $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=-1%5Cle%20%5Cfrac%7B4%2B%5Csqrt%7B6i%7D%7D%7B2%7D%20%5Cle%201%20%20%20%20%20$

2. příklad
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%20%20%20%20%20arctg(ln(-2x%5E2%2B3x%2B2%20))$
u arctg neznám ani jaký je jeho def.obor

Děkuji za každou radu

Lishaak · 30. 03. 2008 09:21

Priklad 1:

Definicni obor funkce arcsin jsi si uvedomila spravne. Pokud ale chces resit tu nerovnost, musis si ji rozdelit na dve:

$x^2 + 2x + \frac{3}{2} \leq 1$

a

$x^2 + 2x + \frac{3}{2} \geq -1$

Tedy po uprave

$x^2 + 2x + \frac{1}{2} \leq 0$

a

$x^2 + 2x + \frac{5}{2} \geq 0$

Staci tedy vyresit tyto dve nerovnice a udelat prunik intervalu, ktere vyjdou jako jejich reseni.

Priklad 2:

Definicni obor funkce arctg jsou vsechna realna cisla. Cili nemusime nijak omezovat obor hodnot toho logaritmu uvnitr. Nyni uz si uvedomime, jaky ma logaritmus definicni obor, a vyjde nam, ze musi platit:

$-2x^2 + 3x + 2 > 0$

robert.marik · 30. 03. 2008 10:33

Na kontrolu výsledku Vám pomůže http://old.mendelu.cz/~marik/maw/index.php?form=df

zadejte tam asin(x**2+2*x+3/2)

ve výsledku budou i nejaká komplexní čísla, těch si nevšímejte (jedna z nerovnic, totiž platí pro všechna reálná čísla)

kristýna · 30. 03. 2008 11:06

Skvělé, děkuju ale netuším ještě jaké budou ty výsledné intervaly?
Když mi vychází komplexní číslo, tak nemá přece v oboru R čísel řešení.

U prvního příkladu :
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%3D%5Cfrac%7B-2%5Cpm%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%3D%5Cfrac%7B-2%5Cpm%5Csqrt%7B6i%7D%7D%7B-2%7D$
- když dosadím v první nerovnici za x 0 je 1/2<=0 a rovnice by neměla mít řešení
- dosadím-li do druhé nerovnice za x 0 výjde že 5/2>=0 a má tedy nekonečně mnoho řešení
Jak teda najdu interval pokud výjde komplexní číslo?

U druhého příkladu by to mělo vyjit x leží (-1/2,2)

kristýna

robert.marik napsal(a):
Na kontrolu výsledku Vám pomůže http://old.mendelu.cz/~marik/maw/index.php?form=df

zadejte tam asin(x**2+2*x+3/2)

http://old.mendelu.cz/~marik/maw/index.php?form=df
na téhle stránce jsem téměř každý den :-) , ale pak je problém jak to vypočítat sama

robert.marik napsal(a):
ve výsledku budou i nejaká komplexní čísla, těch si nevšímejte (jedna z nerovnic, totiž platí pro všechna reálná čísla)

aha, takže i když výjde jedna z nerovnic jako komplexní číslo, ale druhá ne, tak je výsledek R, chápu to dobře?

robert.marik · 30. 03. 2008 11:09

Když u rovnice vyjde komplexní číslo tak rovnice nemá řešení v R.

Když u nerovnice vyjde komplexní číslo tak rovnice buď nemá řešení v R nebo jsou řešením všechna R (namalujte si funkci x^2+1 a 5e3te grafickz nerovnici x^2+1<0 a potom x^2+1>0 - jsou v tom dost velké rozdíly)

robert.marik · 30. 03. 2008 11:16

↑ kristýna:
Já postupuju takto:

1. z nerovnice udělám rovnici a pak ji vyřeším, body si zapamatuju
2. najdu body nespojitosti a ty si zapamatuju
3. vynesu všechny body co si pamatuju na reálnou osu. Dostanu osu rozdělenou na intervaly. Těchinetrvalů je o jeden víc než bodů.
4. V každém intervalu najdu jedno číslo, které dosadím do nerovnice a ověřím, jestli ta nerovnice platí. Pokud ano, pak tento podinterval leží do množiny řešení, pokud ne tak ne

To je univerzální postup, často je vhodné volit něco rychlejšího, třeba grafickou metodu (hlavně u kvadratických nerovnic).

Tam kde máte jenom komplexní kořeny máte jeden interval a nejlepší je dosadit tu nulu. V té druhé nerovnici máte tři intervaly, takže buď dosazujete tři čísla, nebo malujete parabolu.

robert.marik · 30. 03. 2008 11:18

↑ kristýna:
každou nerovnici řešte zvláš?. Jedna má řešení R, druhá nějaký interval (označme jej I). ve výsledku musí platit obě, proto se děla průnik a po průniku vyjde ten interval I

kristýna · 30. 03. 2008 11:24

↑ robert.marik:

nemohl byste to ukázat na tomto příkladu jak to řešíte? ja bych v tom udělala zase několik chyb :-|
děkuju

robert.marik

První nerovnice

$x^2 + 2x + \frac{1}{2} \leq 0$
upravím na rovnici
$x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$
$[x=-\frac{\sqrt{2}+2}{2},x=\frac{\sqrt{2}-2}{2}]$
$[x=-1.707106775823027,x=-.2928932241769727]$

zkontroluju, jestli nerovnice platí pro levý interval (kontroluju x=-3), prostřední(kontroluju x=-1) pravý interval (kontroluju x=0)

kontrola by měla vyjít jenom v tom prostředním, je to tedy jenom ten prostřední interval

===============================================================================

Druhá
$x^2 + 2x + \frac{5}{2} \geq 0$
upravím na rovnici
$x^2 + 2x + \frac{5}{2} = 0$
$[x=-\frac{\sqrt{6}\,i+2}{2},x=\frac{\sqrt{6}\,i-2}{2}]$

Nemám co vynášet, mám tedy jenom jeden interavl od mínus nekonečna do nekonečna, kontroluju v libovolném čísle (volím nulu) a platí, nerovnice má tedy řešení všechan reálná čísla

=============================================================================

Kouknu se na nerovnice jako na soustavu a dělám průnik z jednotlvých řešení, Dostanu uzavřený interval
$\left[\frac{-\sqrt{2}-2}{2},\frac{\sqrt{2}-2}{2}\right]$