Matematické Fórum

ondrej.hav · 14. 06. 2010 20:57

Pěkný večer. Chtěl bych se zeptat, když mám řadu $\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{x}{2})^n}$ A chci zjistit obor konvergence. Tak si vypočítám nutnou podmínku konvergence tj. $\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{x}{2})^n=0$ zjistím že to platí pro $x \in (-2;2)$ A pak použiju ještě nějaké kritérium? Tak jsem zkusil třeba limitní odmocninové $K= \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{(\frac{x}{2})^n}$ tudíž $K=\frac{x}{2}$ a protože řada konverguje pro K < 1 tak položím $\frac{x}{2}<1$ a dostanu $x<2$ A co teď? Teď to mam porovnat s tou nutnou podmínkou? Já sem viděl i že se tam dala absolutní hodnota, ale tim bych přeci určil interval abolutní konvergence a ne obyčejné? Nebo ty intervaly jsou stejné?a rozhoduju jenom o tom jestli sou abolutní nebo neabsolutní? Moc tomuto problému celkově nerozumím. Je to na mě až moc abstarktní

jarrro · 14. 06. 2010 21:07

je to geometrický rad ten konverguje vtedy a len vtedy keď absolútna hodnota kvocientu je menšia ako jedna teda
$\left|\frac{x}{2}\right|<1\nlx\in\left(-2;2\right)$

Olin · 14. 06. 2010 21:09

Z absolutní konvergence plyne běžná konvergence. Výpočtem $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|\frac x2\|^n}$ zjistíš, kde řada absolutně konverguje, a podle nutné podmínky konvergence pak zjistíš, že "všude jinde" diverguje.

ondrej.hav · 14. 06. 2010 21:11

↑ jarrro:Jo, jasny, takze kdyz mam radu ktera je geometricka, tak musim vyuzit toho vztahu pro geometrickou radu? Nejakyma tema kriteriama mi to nevyjde?

ondrej.hav · 14. 06. 2010 21:14

↑ Olin:Jo takhle už mi to taky vychází... :-) Ale jak přijdu na tu absolutní hodnotu? Já bych to totiž napsal takto: $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|\frac{x}{2}^n\|}$ A s tím už si nevím rady... Nebo to můžu upravit z toho mého na to tvoje?

jarrro · 14. 06. 2010 21:17 — Editoval jarrro (14. 06. 2010 21:20)

↑ ondrej.hav:↑ ondrej.hav:vyjde,ale geometrické rady sú veľmi jednoduché a použitie kritérií je kanón na vrabce
$\forall n\in\mathbb{N};\forall a\in R;\left|a^n\right|=\left|a\right|^n$

ondrej.hav

↑ jarrro:Když já mám pak i těžší a tam už musím používat kritéria... :-( A díky mooc

ondrej.hav · 14. 06. 2010 21:51

↑ jarrro:Prosím ještě bych se chtěl zeptat jak tu řadu sečtu?

jarrro · 14. 06. 2010 22:03 — Editoval jarrro (14. 06. 2010 22:05)

pre geometrický rad platí $\sum_{k=1}^{\infty}{q^k}=\frac{q}{1-q}$ teda (prvý člen)/(1-kvocient) čo sa ľahko dokáže lebo
$s_n=q+q^2+q^3+\cdots +q^n\nl-qs_n=-q^2-q^3-q^4\cdots-q^n-q^{n+1}\nl\left(1-q\right)s_n=q-q^{n+1}\nls=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}$ keď n pošleme do nekonečna tak pre $q\in\left(-1;1\right)$ je $\lim_{n\to\infty}{\frac{q-q^{n+1}}{1-q}}=\frac{q}{1-q}$

ondrej.hav · 14. 06. 2010 22:04

mělo by to být $\frac{a_1}{q-1}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}-1}=\frac{2x}{2x-4}=\frac{x}{x-2}$ ale podle výsledků na vebu matematické analýzy je $\frac{x}{2-x}$ Tak já nevím :-(

jarrro · 14. 06. 2010 22:06

↑ ondrej.hav: $\frac{a_1}{1-q}$

ondrej.hav · 14. 06. 2010 22:07

↑ jarrro:AAAAAAAha... neumim ani opisovat... :-(

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2010 20:57

Řada

#2 14. 06. 2010 21:07

Re: Řada

#3 14. 06. 2010 21:09

Re: Řada

#4 14. 06. 2010 21:11

Re: Řada

#5 14. 06. 2010 21:14

Re: Řada

#6 14. 06. 2010 21:17 — Editoval jarrro (14. 06. 2010 21:20)

Re: Řada

#7 14. 06. 2010 21:18 — Editoval ondrej.hav (14. 06. 2010 21:21)

Re: Řada

#8 14. 06. 2010 21:51

Re: Řada

#9 14. 06. 2010 22:03 — Editoval jarrro (14. 06. 2010 22:05)

Re: Řada

#10 14. 06. 2010 22:04

Re: Řada

#11 14. 06. 2010 22:06

Re: Řada

#12 14. 06. 2010 22:07

Re: Řada

Zápatí