Matematické Fórum

Zeck · 15. 06. 2010 14:21

Zdravim,
potreboval by som pomoc ako vyriesit tento priklad.
Sucet geometrickej postupnosti 1+a+a2+a3+a4+a5 sa rovna 1365. Comu sa rovna cislo a?
(a2 = a*a, a3=a*a*a)

pietro · 15. 06. 2010 14:41

↑ Zeck:Zdravim...aspon na uvod by pomohlo?
Odkaz

Zeck · 15. 06. 2010 15:02

Fiha, zaujimava stranka :-)
ale ja vysledok viem, problem je ako sa k nemu dopracovat...

pietro · 15. 06. 2010 15:07

↑ Zeck:No veď to...v súčasnej vyspelej PC dobe, ..to bude chcieť učiteľ asi za pomoci "starších" klasickejších nástrojov...aby sme si precvičili iné partie... zatial ma nenapadlo nič rýchle vedúce k cielu...počkáme ešte na kolegov...

jelena · 15. 06. 2010 15:17

↑ pietro:

tak bych zkusila použit vzorec na součet geom. posloupnosti, první člen je 1, q=a.

nebo bez 1 na začátku (pouze 5 členů) s 1. členem a, q také a součet 1364.

V určitém kroku úprav bude potřeba užitečného vzorce (x^3-y^3), ale nepočítala jsem to celé.

Může být?

Zeck · 15. 06. 2010 15:39 — Editoval Zeck (15. 06. 2010 15:41)

↑ jelena:

Ano, poznam ten vzorec, ale potreboval by som navod ako vyjadrit q, pretoze to sa mi nedari... :-(

zdenek1 · 15. 06. 2010 15:56

↑ Zeck:
$\frac{a^6-1}{a-1}=1365$
$\frac{(a+1)(a-1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)}{a-1}=1365$
$(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)=1365=3\cdot5\cdot7\cdot13$

Analyticky to vyřešit neumím, ale můžu vždy zkusit hleda "pěkná" (celčíselná) řešení. Zkusím postupně
$a+1=3$
$a+1=5$ tohle vyjde
$a+1=7$
$a+1=13$

Olin · 15. 06. 2010 16:00 — Editoval Olin (15. 06. 2010 16:02)

Navrhnu své řešení, netvrdím, že je nejvhodnější:

$1 + \dots + a^5 = \frac{a^6-1}{a-1}$

tedy

$a^6 - 1365 a + 1364 = 0$ .

Věta o celočíselných kořenech dává kořeny 1 a 4, přičemž jednička nemá smysl (tu jsme přidali). Derivováním levé strany dokážeme, že rovnice má v reálných číslech nejvýše dvě řešení.

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2010 14:21

Geometricka postupnost

#2 15. 06. 2010 14:41

Re: Geometricka postupnost

#3 15. 06. 2010 15:02

Re: Geometricka postupnost

#4 15. 06. 2010 15:07

Re: Geometricka postupnost

#5 15. 06. 2010 15:17

Re: Geometricka postupnost

#6 15. 06. 2010 15:39 — Editoval Zeck (15. 06. 2010 15:41)

Re: Geometricka postupnost

#7 15. 06. 2010 15:56

Re: Geometricka postupnost

#8 15. 06. 2010 16:00 — Editoval Olin (15. 06. 2010 16:02)

Re: Geometricka postupnost

Zápatí