Matematické Fórum

pizet · 15. 06. 2010 15:59 — Editoval pizet (15. 06. 2010 16:14)

Keď sme sa v škole prvý krát učili o odmocninách tak nám to vysvetlili asi na ten štýl, že napr. $9^2 = 81$ a $\sqrt[]{81} = 9$ .

Teraz som sa zamýšľal ale neviem si celkom predstaviť, že čo robí tá odmocnina s číslom ako matematická operácia.

Z $log_42 = \frac{1}{2}$ my vyplynulo, že $\sqrt[]{4} = 4^{\frac{1}{2}}$ , čiže sa dá povedať, že $\sqrt[x]{n} = n^{\frac{1}{x}}$ .

No a moja otázka znie, čo sa teda vlastne s tým číslom pri odmocňovaní x-tou odmocninou alebo umocnovaním 1/x deje.

P.S. Toto

Code:

4^(1/2)

mi nešlo v TeXte zapísať ako

Code:

4^\frac{1}{2}

Nevedeli by ste poradiť ako to napísať správne?

BakyX · 15. 06. 2010 16:06

4^\frac{1}{2} musíš napísať takto : 4^{\frac{1}{2}}

$4^{\frac{1}{2}}$

zdenek1 · 15. 06. 2010 16:08

↑ pizet:
$4^{\frac12$
4^{\frac12}

pizet · 15. 06. 2010 16:11

Aha, ok dík.

A k tej odmocnine by ste nevedeli?

BakyX · 15. 06. 2010 16:14 — Editoval BakyX (15. 06. 2010 16:14)

Pre všetky reálne čísla a, m, n platí:

$\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$

m sa nerovná 0.

To je vlastne defínacia n tej odmocniny

pizet · 15. 06. 2010 16:18

Áno ale keď odmocním $x$ $\sqrt[]{x}$ , tak či sa s tým $x$ udeje?

Olin · 15. 06. 2010 16:19

↑ BakyX:
Ještě musí být $a$ kladné.

hradecek · 15. 06. 2010 16:21

↑ pizet:
Je dobré si uvedomiť, že tieto funkcie sú inverzné...

pizet · 15. 06. 2010 16:29 — Editoval pizet (15. 06. 2010 16:38)

↑ hradecek:
Aha, máš na mysli funkciu exponenciálnu napr. $f: y = a^x$ a k nej je inverzná fcia $g: x = a^y$ ?

No a to sa teda dostávam k logaritmickej fci, lebo sa to dá zapísať ako $g: y = log_ax$ .
Čiže teda z toho vyplýva, že logaritmická fcia je inverzná k exponenciálnej a hodnota odmocniny je vlastne inverzná hodnota $y$ pri danom $x$ ( čo ja viem 2) v exponenciálnej funkcií?

hradecek

↑ pizet:
Nad týmto sa treba zamyslieť :)))
Napríklad:
$2^{3}=\overbrace{2\cdot 2\cdot 2}^{3-krat}=8$
$\sqrt[3]{8}=2$

z toho asi vyplýva toto $a^n=\sqrt[n]{a^n}$

pizet · 15. 06. 2010 16:48

↑ hradecek:

$a^n=\sqrt[n]{a^n}$ ale veď toto neplatí.

Spybot · 15. 06. 2010 16:53

Kolega chcel asi napisat $|a|=\sqrt[n]{a^n}$

Odmocnina je jednoducho definovana pomocou mocnin, lepsie Ti to (asi) nikto nevysvetli. Zatial co $x^n$ mozme hned vypocitat ako $x \cdot x \cdot x...$ a este $n$ -krat, jednotny postup ako okamzite vypocitat $\sqrt[n]x$ neexistuje, povedal by som.

hradecek

↑ pizet:
vlastne som chcel napísať iba že
$\sqrt[n]{a^n}=|a|$

pizet · 15. 06. 2010 17:02

Spybot napsal(a):
Kolega chcel asi napisat $|a|=\sqrt[n]{a^n}$

Odmocnina je jednoducho definovana pomocou mocnin, lepsie Ti to (asi) nikto nevysvetli. Zatial co $x^n$ mozme hned vypocitat ako $x \cdot x \cdot x...$ a este $n$ -krat, jednotny postup ako okamzite vypocitat $\sqrt[n]x$ neexistuje, povedal by som.

Dobre no ale potom napr. ako sú v programovacích jazykoch alebo aj na kalkulačkách naprogramované funkcie na odmocnenie čísla. Musí tam byť predsa nejaký sýstém, resp. algoritmus, ktorý získa n-tú odmocninu z čísla x.

Olin · 15. 06. 2010 17:19

hradecek napsal(a):
$\sqrt[n]{a^n}=|a|$

Toto platí pouze pro sudá $n$ , pro lichá je to bez absolutní hodnoty.

Co se týče toho, jak odmocninu spočítá kalkulačka nebo počítač - to je otázka takzvaných numerických metod. Odmocnina se vypočte jen přibližně, protože jako (většinou) iracionální číslo se přesně spočíst nedá. Možný postup je třeba takovýto.

Marian · 03. 07. 2010 19:34 — Editoval Marian (03. 07. 2010 19:37)

↑ pizet:

Už je to starší téma, ale nelíbí se mi diskuse v tomto vláknu. Je to takové hop a skok, ale nic kompletního. Vyjádřím se níže k definicím pojmů, o kterých se zde hovoří neboť mi připadá, že by si to někteří diskutující mohli rádi přečíst.

Připomínám, že to, co se vyučuje ve škole, může podléhat didaktickým aspektům! Skutečná a čístá matematická pravda může být úplně jinde. Pokud se chceš něco dozvědět více o reálných číslech matematicky korektně a nikoliv způsobem hob a skok (jak jsme psal výše), musíš si přečíst příslušnou teorii k takovému pojednání nutnou. Patrně by ti mohlo prospět přečíst si několik prvních odstavců z knihy

Vojtěch Jarník, Diferenciální počet I. NČSAV, Praha,

která nepředpokládá jiných než elementárních znalostí. Vůbec, celá ta kniha se dá solidně přečíst zřejmě už závěrem lepší střední školy.

Na pozdější čtení potom mohu doporučit slovenskou knížku

Tibor Šalát, Reálne čísla. Alpha, Bratislava.

V této vynikající knize je ovšem teorie zřejmě přespříliš.

V obou knihách lze nalézt kapitoly nebo paragrafy, ve kterých se detailně diskutuje o odmocninách a logaritmech, popř. jiných speciálních reálných funkcích.

V komplexní analýze se potom tyto pojmy dále vhodně rozšiřují. Ale to předbíhám skutečně více, než je asi vhodné.

Marian · 03. 07. 2010 19:43 — Editoval Marian (03. 07. 2010 19:43)

BakyX napsal(a):
Pre všetky reálne čísla a, m, n platí:

$\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$

m sa nerovná 0.

To je vlastne defínacia n tej odmocniny

Takto to prostě není!

pizet · 04. 07. 2010 19:33

Ok, ďakujem za radu.

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2010 15:59 — Editoval pizet (15. 06. 2010 16:14)

Odmocnina - princíp

Code:

Code:

#2 15. 06. 2010 16:06

Re: Odmocnina - princíp

#3 15. 06. 2010 16:08

Re: Odmocnina - princíp

#4 15. 06. 2010 16:11

Re: Odmocnina - princíp

#5 15. 06. 2010 16:14 — Editoval BakyX (15. 06. 2010 16:14)

Re: Odmocnina - princíp

#6 15. 06. 2010 16:18

Re: Odmocnina - princíp

#7 15. 06. 2010 16:19

Re: Odmocnina - princíp

#8 15. 06. 2010 16:21

Re: Odmocnina - princíp

#9 15. 06. 2010 16:29 — Editoval pizet (15. 06. 2010 16:38)

Re: Odmocnina - princíp

#10 15. 06. 2010 16:42 — Editoval hradecek (15. 06. 2010 16:43)

Re: Odmocnina - princíp

#11 15. 06. 2010 16:48

Re: Odmocnina - princíp

#12 15. 06. 2010 16:53

Re: Odmocnina - princíp

#13 15. 06. 2010 16:55 — Editoval hradecek (15. 06. 2010 16:55)

Re: Odmocnina - princíp

#14 15. 06. 2010 17:02

Re: Odmocnina - princíp

Spybot napsal(a):

#15 15. 06. 2010 17:19

Re: Odmocnina - princíp

hradecek napsal(a):

#16 03. 07. 2010 19:34 — Editoval Marian (03. 07. 2010 19:37)

Re: Odmocnina - princíp

#17 03. 07. 2010 19:43 — Editoval Marian (03. 07. 2010 19:43)

Re: Odmocnina - princíp

BakyX napsal(a):

#18 04. 07. 2010 19:33

Re: Odmocnina - princíp

Zápatí