Matematické Fórum

non.mathh

Máme prostor tvořený polynomy nejvýše 5 stupně. Určete bázi a dimenzi. (nepamatuju si přesné zadání, ale nějak takhle)

Řešení:
Obecně je to polynom a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x^1 + f*x^0

Báze: B = {(x^5, 0, 0, 0, 0, 0), (0, x^4, 0, 0, 0, 0), (0, 0, x^3, 0, 0, 0), (0, 0, 0, x^2, 0, 0), (0, 0, 0, 0, x^1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, x^0)}

Otázka ... je tenhle >> B_2 = {(x^5), (x^4), (x^3), (x^2), (x^1), 1}<< zápis (jakože zkrácený) stejný jako kdyby se to zapsalo viz. B? .. pokud ne, tak jaký je správný... příp. jakto...

Dimenze: 6 (dim polynomu n stupně -> n + 1)

jarrro · 14. 06. 2010 19:42 — Editoval jarrro (16. 03. 2019 07:42)

podľa mňa $B=\{x^5,x^4,x^3,x^2,x,1\}$

non.mathh · 14. 06. 2010 20:19

Asi jo, máš pravdu.. akorát stopro nevím, proč to tak je :)

Jinak pokud by se mělo ověřit jestli je to báze.
Opět má být LNZ, a generovat prostor polynomů nejvýš 5 stupně?
Generování - v podstatě obecný polynom nejv. 5.stup. rovná se lin kombinace zkomaných polynomů?

a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x^1 + f*x^0 = a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x^1 + 1 - tak nějak? ... není to moc jednoduché? :))

A ještě vyšetření LNZ.
Sestaví se mn. souřadnic - (1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1)
dá se do matice a pokud nevypadne řádek tak jsou LNZ? Nebo je to scestne? ...

jarrro · 14. 06. 2010 21:27

najednoduchšie je $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$ polynóm sa rovná nulovému polynómu vtedy a len vtedy ak má veštky koeficienty nulové teda je to lineárne nezávislé

non.mathh · 14. 06. 2010 22:36

Neboli na základě $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$ :

Zjistíme, že každý z množiny polynomů v bázi (je tvořena polynomy, ne?) se rovná nule...
$x^5 = x^4 = x^3 = x^2 = x^1 = x^0 = 0$
čili je to LNZ.

Tak nějak?

jarrro · 14. 06. 2010 22:38

↑ non.mathh:ani jeden polynóm z uvažovanej množiny sa nerovná 0 to si skade takú hlúposť zobral?

non.mathh · 14. 06. 2010 22:56

To fakt nevím, odkud... Jen mi asi nedochází, jak to tam zapadá.

Takže. Pokud mají být LNZ tak koeficienty musí být nula.

Takže platí "najednoduchšie $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$ " - to jsou ty prvky báze násobené koeficienty... Ale jak se dokáže/ukáže, že jsou fakt 0 (ty koeficienty)? ...

Olin · 14. 06. 2010 23:00

Tak třeba: nechť je $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$ pro všechna reálná x a alespoň jeden z koeficientů je nenulový. Nechť je $x^k$ člen s nejvyšším stupněm, u kterého je nenulový koeficient. Jak to pak vypadá s limitou
$\lim_{x \to \infty} \frac{ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f}{x^k}$ ?

Kondr · 15. 06. 2010 00:35

↑ non.mathh: Olin to myslel dobře, ale dívá se na to jako analytik. V algebře se dva polynomy rovnají, pokud mají stejné koeficienty.
Z rovnosti $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x+0$ pak plyne a=0, b=0, c=0,d=0,e=0,f=0. V algebře se prostě dívej na polynom $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ stejně jako na šestici $(a,b,c,d,e,f)$ , akorát místo čárek a závorek se jako oddělovače čísel používají ty mocniny $x$ .

Že to má souvislost s polynomy tak, jak je známe ze střední školy nebo z analýzy, je dobré vědět, ale hlubším vrtáním v této souvislosti si není třeba před zkouškou motat hlavu.

non.mathh · 16. 06. 2010 11:06

↑ Kondr: Ok, děkuju :)

Rumburak

↑ non.mathh:
Je možné, že u zkoušky padne otázka
"PROČ se dva polynomy sobě rovnají právě tehdy, když mají tytéž koeficienty příslušných stupňů?",
nebo otázka ekvivelentní
"PROČ je polynom f roven nulovému polynomu právě tehdy, když všechny koeficienty v polynomu f jsou rovny 0 ?" .

Odpověď : Počet kořenů nenulového polynomu je nejvýše roven jeho stupni.
Jediným polynomem, jehož kořenem je každé reálné číslo, je proto nulový polynom.

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2010 19:38 — Editoval non.mathh (14. 06. 2010 19:52)

Báze polynomu

#2 14. 06. 2010 19:42 — Editoval jarrro (16. 03. 2019 07:42)

Re: Báze polynomu

#3 14. 06. 2010 20:19

Re: Báze polynomu

#4 14. 06. 2010 21:27

Re: Báze polynomu

#5 14. 06. 2010 22:36

Re: Báze polynomu

#6 14. 06. 2010 22:38

Re: Báze polynomu

#7 14. 06. 2010 22:56

Re: Báze polynomu

#8 14. 06. 2010 23:00

Re: Báze polynomu

#9 15. 06. 2010 00:35

Re: Báze polynomu

#10 16. 06. 2010 11:06

Re: Báze polynomu

#11 16. 06. 2010 11:26 — Editoval Rumburak (16. 06. 2010 11:27)

Re: Báze polynomu

Zápatí