Matematické Fórum

ondrej.hav

Pěkný večer, potřeboval bych pomoct s příkladem typu najdi interval I takový, že křivka je na něm shodná........

Konkrétní příklad:
$\gamma_1={1+t \choose 1+2t}$ a $\gamma_2={3+2t \choose 5+4t}$ u té první $t\in [-1;0)$ a mám zvolit $I_2$ tak aby $\gamma_1 = \gamma_2$

Mě osobně napadl způsob že bych vzal krajní bod toho intervalu, který znám tj. -1 a dosadil bych ho do příslušné křivky...
Tj. $\gamma_1(-1)={0 \choose -1}$ a spočtu z té druhé křivky pro jaké t je $\gamma_2 = {0 \choose -1}$

No a pak udélám to samé pro ten druhý kkrajní bod... To ale prý není uplně dobrý řešení... Tak jestli by mi nekdo poradil nejaky jiny zpusob?

Hlavně kdž mam třeba křivky s goniometrickymi funkcemi tak to reseni nebyva uplne jednoznečné...

PROSÍM PROSÍM, MŮŽETE MI NĚKDO PORADIT???

ondrej.hav · 17. 06. 2010 16:01

↑ ondrej.hav:Vážně to nikdo neví?

Rumburak

Obecně lze ihned říci, že každá z křivek je částí (nějaké) přímky a jde-li o dvě přímky, mají stejný směr (protože jejich směrové vektory
jsou lin. závislé).

Definiční obor první křivky rozšíříme i na hodnotu t = 0 , v tomto bodě pak bude $\gamma_1(0)={1 \choose 1}$
Máme tedy 2 body prvé křivky a najdeme-li je i na druhé křívce, znamená to, že tyto body omezují úsečku společnou oběma křivkám.
Krajním bodům této křivky v druhém popisu odpovídají krajní body intervalu pro parametr a ten krajní bod, který opovídá bodu ${1 \choose 1}$ ,
vyloučíme, abychom získali křivku odpovídající křivce $\gamma_1$ v její původní versi.

ondrej.hav · 17. 06. 2010 17:22

↑ Rumburak: Dekuji, a ještě se zeptám, tenhle postup můžu použít pro jakékoli křivky? Přotože právě tohle se mi docela osvědčilo... Ale náš cvičící tam používá nějaký porovnávání a vždyky z toho vyseparuje ještě předpis... nějakej jakože ne parametrickej, nevim jak se jmenuje... No a to mi přijde dost složitý. a pak tam nějak ten interval z toho takovym zajimavym zpusobem dostane... "nějak" Tuto se mi fakt líbí víc... Akorát se chci zeptat jestli je to obecně aplikovatelný na jakýkoli příklad....

kaja(z_hajovny) · 17. 06. 2010 18:35

↑ ondrej.hav:
jestli tomu dobre rozumim, porovnavate jenom krajni body a pokud jsou stejne, rad byste tvrdil, ze krivkz jsou cele stejne. takze si asi uz dokazete odpovedet sam.

ondrej.hav · 17. 06. 2010 22:39

↑ kaja(z_hajovny):Hmmm já vím, že na nějkakém intervalu ty křivky stejné jsou. Hledám jenom ten interval kde to platí... v tom případě bych to tak mohl udělat ne? Nebo jestli ne, tak jestli byste mi mohl, prosím, poradit nějakou jinou metodu?

kaja(z_hajovny) · 17. 06. 2010 23:01

Dosavadni diskuze byla bud dost vagni nebo se jednalo o cast primky. Bylo by mozne se dat Vas postup pro nejaky mene trivialni priklad, at muzeme posoudit, jestli to delate dobre nebo spatne?

Ja bych se asi snazil najit neparametrickou rovnici

ondrej.hav

↑ kaja(z_hajovny):Tak dejme tomu $\gamma_1={\frac{cos(t)}{2}\choose sin(t)^2}$ a $t \in <0; \frac{\pi}{2})$ a $\gamma_2={e^{2t}\choose 1-4e^{4t}}$

EDIT: Což mojí metodou vychází podle výsledků správně.....

Počítám jako $\gamma_1(0) = {\frac12 \choose 0}$ tudíž musí platit rovnice $e^{2t}=\frac12$ což platí pro $t=\frac{log{\frac12}}{2}$ Stejně tak musí vyjít rovnice $1-4e^{4t}=0$ Což vyjde....

pak vezmu $\gamma_2(\frac{\pi}{2})={0 \choose 1}$ tudíž musí vyhovovat rovnici $e^{2t}=0$ což platí pro $t=-\infty$

A dostávám interval $\left <-\infty ; \frac{log{\frac12}}{2}\right)$

kaja(z_hajovny) · 18. 06. 2010 09:14

pokud v prvni krivce zmenime sin^2(x) za sin^3(x) tak evidentne vse zustane v platnosti a proto by tahle nova krivka taky mela byt stejna jako krivka gamma_2. Coz je nesmysl (skuste si namalovat).

Pro Sage treba nejak takto:

Code:

t=var('t')
P1=parametric_plot((cos(t)/2,(sin(t))^2),(t,0,pi/2))
P2=parametric_plot((exp(2*t),1-4*exp(4*t)),(t,-10,log(1/2)/2),color='red')
P3=parametric_plot((cos(t)/2,sin(t)^3),(t,0,pi/2),color='green')
P3+P1+P2

Prvni dve krivkyjsou stejne, protoze to je zakamuflovana parabola y=1-4*x^2, treti krivka je jina, podle Vaseho vypoctu by ale mela byt stejna.

Rumburak

↑ ondrej.hav:

Danou křivku tvoří nějaký funkční či relační vztah - obecně třeba F(x,y) = 0 - platný pro každý bod [x,y] té křivky (F je funkce charakteristická
pro tu křivku) a tento vztah musí být zachován i při přechodu k parametrickému vyjádření té křivky, tj. musí být pak splněno F(x(t),y(t)) = 0 .
Pokud by parametrické vyjádřeni x = x(t) , y = y(t) na určitém intervalu nesplňovalo vztah F(x(t),y(t)) = 0 , pak by příslušná křivka nebyla
částí křivky o rovnici F(x,y) = 0 (na krajní body ani orientaci křivek teď nehleďíme) .

Odtud plyne, jak rozhodnout, zda dvěma parametrickými vyjádřeními je popsána tatáž křivka .

Křivka $\gamma_2={e^{2t}\choose 1-4e^{4t}}$ splňuje rovnici $y(t) = 1 - $2x(t)$^2$ a tutéž rovnici splňuje i křivka $\gamma_1={\frac{cos(t)}{2}\choose sin(t)^2}$ ,

takže při vhodné volbě počátečních a koncových bodů mají křivky tytéž trajektorie neboli geometrické obrazy, neboli: jsou totožné, pokud
nehledíme na orientaci. Zda se křivky shodují i co do orientace, to nutno posoudit další úvahou, která je, myslím, zřejmá.

Pozn. Vyšel jsem z předpokladu, že zápisem $sin(t)^2$ je míněno $\sin^2 t$ .

ondrej.hav · 18. 06. 2010 14:25

↑ Rumburak:To znamená, že před řešením bych měl ještě udělat jeded krok a to "odparametrizování" těch dvou křivek... ??? Pokud my vyjde stejnáá závislos y na x u obou křivek moho s klidem použít ten můj postup??? Je to tak?

Rumburak

↑ ondrej.hav:
Ano, ten krok "odparametrizace" je důležitý, to bude nejpíš ten postup vašeho cvičícího, kterému jsi nepříliš rozuměl.

EDIT. Ale ani zde není radno postupovat bez rozmyslu. Problém může nastat u křívek, jejichž obecná rovnice je
v implicitním tvaru F(x,y) = 0, jako třeba u kružnice o rovnici x^2 + y^2 = 1 , jejíž body [-1,0], [1,0] jsou společné
dvěma různým obloukům (jeden nad osou x a duhý pod osou x).

Pokud ale je svrchu jasné, že jde o dvě par. rovnice přímky (tak jako v té první úloze), pak tento krok dělat nemusíme,
protože o dvou přímách platí, že mají-li společné dva různé body, jsou totožné. Jiné křivky než přímky však takovou
vlastnost nemají.

ondrej.hav · 18. 06. 2010 16:30

↑ Rumburak:Jo díky mooc... to opravdu bude ono...

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2010 00:52 — Editoval ondrej.hav (17. 06. 2010 16:01)

Shodnost křivek

#2 17. 06. 2010 16:01

Re: Shodnost křivek

#3 17. 06. 2010 16:04 — Editoval Rumburak (17. 06. 2010 16:05)

Re: Shodnost křivek

#4 17. 06. 2010 17:22

Re: Shodnost křivek

#5 17. 06. 2010 18:35

Re: Shodnost křivek

#6 17. 06. 2010 22:39

Re: Shodnost křivek

#7 17. 06. 2010 23:01

Re: Shodnost křivek

#8 17. 06. 2010 23:24 — Editoval ondrej.hav (17. 06. 2010 23:34)

Re: Shodnost křivek

#9 18. 06. 2010 09:14

Re: Shodnost křivek

Code:

#10 18. 06. 2010 09:45 — Editoval Rumburak (18. 06. 2010 09:58)

Re: Shodnost křivek

#11 18. 06. 2010 14:25

Re: Shodnost křivek

#12 18. 06. 2010 14:37 — Editoval Rumburak (18. 06. 2010 14:49)

Re: Shodnost křivek

#13 18. 06. 2010 16:30

Re: Shodnost křivek

Zápatí