Matematické Fórum

non.mathh · 18. 06. 2010 13:34

Pokud zobrazení není homomorfismus....

Můžeme určit jádro a obraz?
Plyne z toho, že není mono, epi ani izo morfismus.. je to tak?

-------

a za druhé pokud máme zobrazení R^4 -> R^2x2 ... bere se to, že mají stejnou dimenzi (4)? A tedy potenciál být izo-?

Olin · 18. 06. 2010 19:46

Jádrem zobrazení $f$ se myslí množina všech prvků, které $f$ zobrazí na "nulu" (přičemž co přesně je nula záleží na kontextu). V podstatě není důvod, proč by jádro nešlo určit i u jiných zobrazení, než jen homomorfismů (bavíme se o lineární algebře, že?). Třeba pokud bychom měli zobrazení $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dané předpisem $f(x) = x^2 - 1$ , tak jeho jádrem bude množina $\{-1,\, 1\}$ . Stejně tak lze určit obraz - v tomto případě je $f[\mathbb{R}] = [-1,\, \infty)$ .

V kontextu lineární algebry se jako monomorfismy, epimorfismy, isomorfismy atd. označují speciální případy homomorfismů - tedy pokud zobrazení není homomorfismem, pak není ani ničím z výše uvedeného.

V druhé otázce nechápu, co přesně označuje R^2x2. Má to být $\mathbb{R}^2 \times 2$ ? $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ ? Nebo jak?

Každopádně pokud mají dva vektorové prostory stejnou dimensi, pak jsou isomorfní.

Kondr · 18. 06. 2010 21:27

↑ Olin: Trochu bych nesouhlasil s definicí jádra. Jádro zobrazení z A do B je množinou těch dvojic, které se zobrazí na stejný prvek. Pokud jsou na A, B po řadě operace + a * a zobrazení f je homomorfizmem (A,+) -> (B,*), pak je jádrem v tomto smyslu množina všech dvojic (x,x+t), kde x je libovolný prvek z A a t je prvek $K=f^{-1}(\{n\})$ *, kde $n\in B$ je neutrální vzhledem k *. Proto lze jádro homomorfizmu charakterizovat množinou K a pro homomorfizmy se definice jádra přetěžuje (samotné K nazveme jádrem).

Tvoje f ale není homomorfizmus a proto není možné pro ni jádro ve druhém smyslu definice uvažovat.

---
*(t.j. K je množina všeho, co se zobrazí na n)

Olin · 20. 06. 2010 16:13

Budiž. V algebře se příliš neorientuji. Řídil jsem se definicí jádra, kterou jsme si zavedli v lineární algebře. Omlouvám se za nesprávnou odpověď.

Zní tedy odpověď na původní otázku - ano, jádro mohu určit vždy?

Kondr · 20. 06. 2010 16:23

↑ Olin: Ano, jádro mohu určit vždy, neboť vždy si zvládnu vybrat vhodnou definici
http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_%28mathematics%29

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2010 13:34

Zobrazení, morfismy, obraz, atd. - pár otázek

#2 18. 06. 2010 19:46

Re: Zobrazení, morfismy, obraz, atd. - pár otázek

#3 18. 06. 2010 21:27

Re: Zobrazení, morfismy, obraz, atd. - pár otázek

#4 20. 06. 2010 16:13

Re: Zobrazení, morfismy, obraz, atd. - pár otázek

#5 20. 06. 2010 16:23

Re: Zobrazení, morfismy, obraz, atd. - pár otázek

Zápatí