Matematické Fórum

Dr.Silenec · 17. 06. 2010 14:05

Zdravim,

můžete mi prosím někdo pomoct s goniometrickou rovnicí?

$sin^2x-2sinx - cosx - cos^2x = 0$

Díky moc za pomoc...

sudec · 17. 06. 2010 16:26

neviem co s tym presne potrebujes urobyt, ale skus pouzit vzorce: http://www.matematickevzorce.kvalitne.c … ovicni.php

jelena · 18. 06. 2010 23:57 — Editoval jelena (19. 06. 2010 23:08)

↑ sudec:

Zdravím,

asi potřebuje řešit goniometrickou rovnici, ale to je detail - byla jsem zaujata slovem "urobyt".

Snažila jsem převest rovnici na součinový tvar bez neekvivalentních úprav, doufám, že se to povědlo:

$sin^2x-2\sin x - \cos x - cos^2x = 0$

$-cos2x-2\sin x-\cos x=0$

$-2\cos $\frac{3x}{2}$\cos$\frac{x}{2}$-4\sin$\frac{x}{2}$\cos$\frac{x}{2}$=0$

$-2\cos$\frac{x}{2}$$\cos \(\frac{3x}{2}$+2\sin$\frac{x}{2}$\)=0$

$-2\cos$\frac{x}{2}$$\sin \(\frac{\pi}{2}+\frac{3x}{2}$+2\sin$\frac{x}{2}$\)=0$

Asi to teď nepřevedu na součín - zatím to nechám tak.

vzorce pro součet goniometrických funkcí.

Doufám, že někdo z kolegů navrhne něco více použitelného. Děkuji.

koudis · 19. 06. 2010 22:30 — Editoval koudis (19. 06. 2010 23:59)

↑ jelena:
mozna mam jeden zpusob .. momentik ...

edit

kdyz se na to podivate pozorneji zjistite ze celou rovnici si muzete napsat do tvaru
$sin(x)^2 -sin(x) - sin(x) -cos(x)(1+cos(x))=0$
$sin(x)(sin(x) -1) - sin(x) -cos(x)(1+cos(x))=0$

sin_x - 1 a 1 + cos_x muzeme napsat jako

$sin(x)-1=-\frac{cos(x)^2}{1+sin(x)}$
$1+cos(x)=\frac{sin(x)^2}{1-cos(x)}$

a dosadime

$sin(x)(-\frac{cos(x)^2}{1+sin(x)}) - sin(x) -cos(x)(\frac{sin(x)^2}{1-cos(x)})=0$

upravime

$sin(x)(-\frac{cos(x)^2}{1+sin(x)}) - 1) -cos(x)(\frac{sin(x)^2}{1-cos(x)})=0$
$sin(x)(\frac{-cos(x)^2-1-sin(x)}{1+sin(x)}) =cos(x)(\frac{sin(x)^2}{1-cos(x)})$
$-cos(x)^2sin(x)-sin(x)(sin(x)()+1)=cos(x)sin(x)^2\frac{1+sin(x)}{1-cos(x)}$
$sin(x)cos(x)^2(1-cos(x))=-sin(x)(1+sin(x))(cos(x)(sin(x)-1)+1)$ (sem si smazal jeden koren a divil se ze mi to nevychazi :D)

ted jsme to upravili na rovnice kde mame pouze 1 sin_x cos_x, jelikoz jde o rovnost muzeme si levou i pravou stranu polozit rovnu jakemukoliv cislu - kdybychom nemely nezname v goni fcich, jelikoz je tam mame melibychom volit podle definicniho oboru goni fci(ne vzdy to ale jde tak jednoduse:D) ... (toto je dost diskutabilni tema, k cemu to porovnavat ... zalezi spise na tom s cim mame porovnavat v zadani, u nas 0)
$sin(x)cos(x)^2(1-cos(x))=0$
$-sin(x)(1+sin(x))(cos(x)(sin(x)-1)+1)=0$

vyresime tyto rovnice a udelame prunik (kontrolu).. vyjde nam $\pi$

mozna je to trosku slozitejsi ale funguje skoro vsude(nesmite si ale vykratit zadne koreny .. !!!!), u vsech podobnych rovnic nejen u goni ... jde o to prevest celou rovnici na to co umime resit (asi tak jako v kazde rovnici :))

Siroga · 19. 06. 2010 23:01

↑ koudis:
jestli se muzu zeptat , $sin(x)-1=-\frac{cos(x)^2}{1+sin(x)}$ a $1+cos(x)=\frac{sin(x)^2}{1-cos(x)}$ to vypliva z ceho? protoze vzorecek na tohle sem nejak nenasel :/

zdenek1 · 19. 06. 2010 23:01

↑ Siroga:
Ona je tam totiž chyba.
$2\sin x=2\sin2(\frac x2)=4\sin\frac x2\cos\frac x2$
takže ta rovnice bude
$-2\cos\frac{3x}2\cos\frac x2-4\sin\frac x2\cos\frac x2=0$

jelena · 19. 06. 2010 23:02

↑ Siroga:

to byl pokus o použití vzorce sin dvojnásobného úhlu:

$\sin2x=2\sin x\cos x$ ,

jelikož $x=2\cdot\frac{x}{2}$ lze rozložit i sin(x) tak.

$\sin x=2\sin$\frac{x}{2}$\cos$\frac{x}{2}$$

Jinak si myslím, že př tomto rozkladu mám nepořádek s násobkem - musím to opravit (a mám obavu, že mi to naruší rozklad na součín). Děkuji za upozornění.

gadgetka · 19. 06. 2010 23:02

$\sin{2x}=2\sin x\cos x\nl \sin x=\sin{2\frac{x}{2}}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}$

koudis · 19. 06. 2010 23:07 — Editoval koudis (19. 06. 2010 23:08)

↑ Siroga:
$sin(x)^2=1-cos(x)^2$
$sin(x)^2=(1+cos(x))(1-cos(x))$
$cos(x)-1=-\frac{sin(x)^2}{1+cos(x)}$

jejdo ... misto cos dejte sin a mate to ...

Siroga · 19. 06. 2010 23:26 — Editoval Siroga (19. 06. 2010 23:29)

↑ koudis:
tak jestli plati $sin(x)^2=sin^2x$
tak to asi chapu:D protoze jednou jeden pocita ze $sin(x)*sin(x)=sin^2x$ a ted by tady platilo ze $sin(x)*sin(x)=sin(x)^2$
+aby toho nebylo malo tak kdyz do kalkulacky dam $sin^2(2)$ tak to hlasi syntax error :X

koudis · 19. 06. 2010 23:35

↑ Siroga:
jo plati ... to x je vzavorce ... jsem zvykli to tak psat ...

Siroga · 19. 06. 2010 23:36

↑ koudis: to ze je v zavorce mi vubec nevadi :D mne jde spis o to jesli sinus nadruhou x je tosamy jako sinus x nadruhou :D

koudis · 19. 06. 2010 23:39

↑ Siroga:
asi jo, melo by byt :) ...

Siroga · 19. 06. 2010 23:52

Mam takovej drobnej dotaz, co se snazime ziskat v Goniometricke rovnici? samotny x nam asi nevyjde ze by se necemu rovnalo, tak mne zajima k jakymu vysledku bych se mnel snazit dospet? aby s nim uz neslo provadet nic podle goniometrickych vzorcu? nebo jak poznam ze dal uz s tim nic delat nejde? :D

koudis · 20. 06. 2010 00:08 — Editoval koudis (20. 06. 2010 00:14)

↑ Siroga:
vyresenim goni rovnice znamena "zjistit uhel zakukleny v goni. fcich" .... snazite se dopatrat k tomu X.
K jakemu vysledku dospet ? jestli dal upravovat nebo ne ? To je vetsinou jenom na vas, jak si rovnici postavite takovou ji budete mit.
Upravovat tak dloune aby stim neslo nic delat podel goni vzorcu ? ... Jak dlouho rozkladat nebo ne, jestli to uplne (s prominutim) rozsrackovat nebo jenom castecne rozlozit vam nikdo nerekne, zalezi na konkretnim prikladu ....
Jak poznat ze stim uz nic delat nejde: hmmm ... az to dsotanete do takoveho tvaru ktery umite bud bey problemu vyresit nebo aspon odhadnout, jak by to asi melo byt viz. tento priklad (taky vam tam vyjdou asi 3 hodnoty pro x, vyradite ty co nesedi do zadani - dosadite, a vyjde to , )

Siroga · 20. 06. 2010 00:14

↑ koudis:
tak to je super :D uz asi vim co reknu ucitelce az se mne bude ptat proc sem to nerozkladal dal. "pani ucitelko, ale mne to takhle staci" :D nemam rad priklady kde neni jasny kdy je reseni :D

koudis · 20. 06. 2010 00:19

↑ Siroga:
:D ... to ye to nejde dal rozdelat poznate ... nepujde tam zadny z zak gon vzorcu ... to mi pripomina moji matikarku. "ROzloyto, no neeee . chlapce ty mas v hlavje uplnyyyyy seno nebo co, ty vole bey si sednout nebo z tebe udelam jednu ctvrtinu"

koudis · 20. 06. 2010 00:24

↑ jelena:
muzu se vas zeptat. Jak jste to myslela "rozlozit na soucin" ??

Siroga · 20. 06. 2010 01:33

↑ koudis: to ze tam nejde zadny vzorec se mi zda uz po 2 upravach, ja obcas jen tise zasnu kdyz na tomhle foru koukam na nejaky priklady, na co se tady prijde, ja bych to vzdal hned po tom co bych prepsal zadani a tady se dokopou k 10 jinak vypadajicim spravnym vysledkum :D a jeste se pak jen pratelsky dohadujou kdo to vymyslel lip :D

jelena · 20. 06. 2010 09:24

koudis napsal(a):
muzu se vas zeptat. Jak jste to myslela "rozlozit na soucin" ??

mám rovnici, kde na pravé straně je 0, proto se snažím vytvořit nalevo součín "závorek". Čím více takových jednoduchých závorek se mi podaří, tim rychlejší je řešení rovnice v součinové tvaru.

$-2\cos$\frac{x}{2}$$\cos \(\frac{3x}{2}$+2\sin$\frac{x}{2}$\)=0$

v tomto součínu (můj 4. řádek) už mám jedno řešení $\cos$\frac{x}{2}$=0$ , odsud je $x=\pi+2k\pi=(2k+1)\pi$

ale tuto závorku $$\cos \(\frac{3x}{2}$+2\sin$\frac{x}{2}$\)=0$ neumím upravit do tvaru, ze kterého bych našla x=....

Ovšem grafy funkcí $y=\cos $\frac{3x}{2}$$ a $y=-2\sin$\frac{x}{2}$$ nakreslím i bez pomocí strojů a řeknu, že další řešení jsou a na kterém intervalu jsou. Teď obrazek za pomocí strojů.

Za použití grafu při odhadu řešení ovšem budu ztepaná.

-------------------
k samotnému zadání - spíš bych předpokladala nějaký překlep v zadání.

zdenek1

↑ Siroga: ↑ koudis:
Pánové, asi to chce trochu upřesnit.
U goniometrické rovnice chceme najít x, ne že ne.
Obecně to děláme tak, že se snažíme složitější rovnici převést na základní typ, tj. $\sin x=a$ (nebo kosinus nebo tangens atd.), protože toto vypočítat umíme (známe tabulkové hodnoty, nebo použijme funkci arkus....).

↑ jelena: výše vysvětluje, co znamená rozklad na součin. Rovnici
$-2\cos\frac{3x}2\cos\frac x2-4\sin\frac x2\cos\frac x2=0$ můžeme upravit
$-2\cos\frac x2(\cos\frac{3x}2+2\sin\frac x2)=0$ to je ten součin. Součin je nula, když aspoň jeden z činitelů je nula, tj.
$\cos\frac x2=0$ nebo $\cos\frac{3x}2+2\sin\frac x2=0$
(první už je základní typ, takže ho snadno vypočítáme)
$\frac x2=\frac\pi2+k\pi$
$x=\pi+2k\pi$

Problém je ta druhá rovnice. Jelena ( a já taky) si myslela, že to půjde pomocí nějakých vzorců upravit. Jenže ono to nejde.
Můžete s tím pochopitelmě čarovat, ale nic hezkého vám to nedá.
substituce $\frac x2=t$
$\cos 3t+2\sin t=0$
$4\cos^3t-3\cos t+2\sin t=0$
$4\cos^3t-3\cos t+2\sqrt{1-\cos^2t}=0$ další substituce $\cos t= a$
$4a^3-3a+2\sqrt{1-a^2}=0$ a tohle analyticky nespočítá nikdo.

PS. Stejně si myslím, že jsi tu původní rovnici špatně opsal a že měla být $\sin^2x-2\sin x\cos x-\cos^2x=0$

koudis · 20. 06. 2010 10:05

to Jelena

Jasne, me to akorat o te pulnoci nedoslo :) ....

Siroga · 20. 06. 2010 14:27

↑ zdenek1: $\sin^2x-2\sin x\cos x-\cos^2x=0$ tohle by asi z fleku napadlo i mne jak se resi:D

zdenek1 · 20. 06. 2010 14:52

↑ Siroga:
O to přece jde. :-)

koudis · 20. 06. 2010 15:06 — Editoval koudis (20. 06. 2010 15:12)

muzu se vas zeptat. Jak jste to myslela "rozlozit na soucin" ??
mám rovnici, kde na pravé straně je 0, proto se snažím vytvořit nalevo součín "závorek". Čím více takových jednoduchých závorek se mi podaří, tim rychlejší je řešení rovnice v součinové tvaru.

ale tuto závorku $$\cos \(\frac{3x}{2}$+2\sin$\frac{x}{2}$\)=0$ [b]neumím upravit do tvaru, ze kterého bych našla x=....

podarlo se mi vypocitat rovnice kde je 2 a ne -2 , mozna to ani reseni nema ....

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2010 14:05

Goniometrie

#2 17. 06. 2010 16:26

Re: Goniometrie

#3 18. 06. 2010 23:57 — Editoval jelena (19. 06. 2010 23:08)

Re: Goniometrie

#4 19. 06. 2010 22:30 — Editoval koudis (19. 06. 2010 23:59)

Re: Goniometrie

#5 19. 06. 2010 23:01

Re: Goniometrie

#6 19. 06. 2010 23:01

Re: Goniometrie

#7 19. 06. 2010 23:02

Re: Goniometrie

#8 19. 06. 2010 23:02

Re: Goniometrie

#9 19. 06. 2010 23:07 — Editoval koudis (19. 06. 2010 23:08)

Re: Goniometrie

#10 19. 06. 2010 23:26 — Editoval Siroga (19. 06. 2010 23:29)

Re: Goniometrie

#11 19. 06. 2010 23:35

Re: Goniometrie

#12 19. 06. 2010 23:36

Re: Goniometrie

#13 19. 06. 2010 23:39

Re: Goniometrie

#14 19. 06. 2010 23:52

Re: Goniometrie

#15 20. 06. 2010 00:08 — Editoval koudis (20. 06. 2010 00:14)

Re: Goniometrie

#16 20. 06. 2010 00:14

Re: Goniometrie

#17 20. 06. 2010 00:19

Re: Goniometrie

#18 20. 06. 2010 00:24

Re: Goniometrie

#19 20. 06. 2010 01:33

Re: Goniometrie

#20 20. 06. 2010 09:24

Re: Goniometrie

koudis napsal(a):

#21 20. 06. 2010 09:46 — Editoval zdenek1 (20. 06. 2010 10:07)

Re: Goniometrie

#22 20. 06. 2010 10:05

Re: Goniometrie

#23 20. 06. 2010 14:27

Re: Goniometrie

#24 20. 06. 2010 14:52

Re: Goniometrie

#25 20. 06. 2010 15:06 — Editoval koudis (20. 06. 2010 15:12)

Re: Goniometrie

Zápatí