Matematické Fórum

malaa... · 21. 06. 2010 10:25

Potřebovala bych prosím pomoc s výpočtem délky grafu pomocí určitého integrálu
y=ln*(cosx) od intervalu 0 do pi/6

po dosazení do vzorce a použití substituce x=tgt, dx = dt/cos^2x m2 vyjde integrál 1/cos^3(t) od 0 do pi/6
a dál už si s tím nevím rady, má to vyjít 1/2 ln3.
Nepomohl by jste mi prosím někdo s postupem? Bez použisí sec(t).
Děkuju moc

Pavel Brožek · 21. 06. 2010 10:28

Sestavila jsi tedy integrál

$\int_{0}^{\frac{\pi}6}\sqrt{1+$-\frac{\sin x}{\cos x}$^2}\,\rm{d}x$ ?

malaa... · 21. 06. 2010 10:35

↑ BrozekP:
po úpravě a odmocnění me výjde 1/cos(x), není to hloupost?

Pavel Brožek · 21. 06. 2010 10:37

Ano, to je dobře (kosinus je na uvažovaném intervalu kladný, takže není problém ani s nějakou absolutní hodnotou).

malaa... · 21. 06. 2010 10:51

↑ BrozekP:
ale ted nevím, jak dostanu ten výsledek 1/2ln3 když vím že ln=1/cos(x), dosadím si tam že za pi/6 je to odmocnina ze 3/2 a za nulu 1 , tak mě to néé a né vyjít

Pavel Brožek · 21. 06. 2010 10:57

Snažim se to řešit substitucí $t=\tan\frac{x}{2}$ , ale nevychází mi to a nemůžu si najít chybu.

malaa... · 21. 06. 2010 11:05

↑ BrozekP:
já jsem to dála že t=cos (x), abych pak dostala 1/t což je ln(t), ale taky mi to nevychází

Kondr · 21. 06. 2010 11:18

1/cos ... neřeší se to standardně substitucí sin(x)=t, pak integrál z dt/(1-t)^2 rozkladem na parciální zlomky?

malaa... · 21. 06. 2010 11:26

↑ Kondr:
tak ted vubec netuším...

Olin · 21. 06. 2010 11:51

Ta "triková" úprava vypadá následovně:

$\frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x}$

odkud už je ta substituce jasná.

Pro zajímavost zde dávám svůj úvodní nástřel řešení, ale radši skrytý :-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cheop · 21. 06. 2010 12:00

↑ malaa...:
Může mi někdo ukázat jak z tohoto $\int_{0}^{\frac{\pi}6}\sqrt{1+$-\frac{\sin x}{\cos x}$^2}\,\rm{d}x$ dostaneme toto?
$\int_{0}^{\frac{\pi}6}\frac{1}{\cos\,x}\,\rm{d}x$

Pavel Brožek · 21. 06. 2010 12:02

Pro $x\in$0,\frac{\pi}{6}$$ :

$\sqrt{1+$-\frac{\sin x}{\cos x}$^2}=\sqrt{1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\nl =\sqrt{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}}=\frac{1}{\cos x}$

Cheop · 21. 06. 2010 12:05

↑ BrozekP:
To jsem ale kus starého vola já to pořád upravoval na $\sqrt{1+$-\frac{\sin x}{\cos x}$^2}=\sqrt{1-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}$
Děkuji, že jsi mě konečně probudil..
Ješte jednou díky.