Matematické Fórum

LukasM · 20. 06. 2010 17:19 — Editoval LukasM (20. 06. 2010 22:44)

Zdravím.
Budu potřebovat trochu pomoct s funkcemi více proměnných. Teď mám před sebou následující úlohu: Vypočtěte $\partial_x$ a $\partial_y$ a vyšetřete jejich spojitost: $f(x,y)=\arctan(sqrt{x^4+y^2})$ .

Parciální derivace podle x: $\frac{1}{1+x^4+y^2}\cdot \frac{2x^3}{sqrt{x^4+y^2}}$ . Tahle funkce je tedy definovaná a spojitá všude kromě (0,0), tam nic nevím. Pokud to dobře chápu, mám ukázat jestli má funkce v (0,0) limitu, a pokud ano, musí se ta limita rovnat parciální derivaci funkce f v bodě (0,0), vypočtené z definice. Jedině potom můžu říct, že parciální derivace podle x je spojitá. Chápu to dobře nebo je to jinak?

Pokud ano, zafixoval jsem si y=0, a po dosazení je vidět, že limita pro x jdoucí zleva a zprava k nule je plus a mínus nekonečno, takže parciální derivace podle x nemůže být spojitá. Je to zatím takhle správně?

Derivace podle y vypadá že by mohla mít v (0,0) limitu 1, a výpočtem derivace z definice $\lim_{y\rightarrow0}\frac{arctg(y)-arctg(0)}{y-0}=1$ docházím k závěru, že parciální derivace podle y je v (0,0) spojitá. Je to tak?

Pokud mám zatím všechno dobře, začal bych pak vyzvídat jak přesvědčivě ukázat, že ta limita p.d. podle y je opravdu 1. Jen vím, že pokud po různých drahách najdu různé limity, tak tam limita neexistuje, ale nevím jak ukázat že existuje.

Jestli to počítám celé blbě, což je klidně možné, rád bych od někoho dostal nakopnutí správnějším směrem. Díky.

Rumburak

Zkusím vyřešit tu parc. derivaci dle x.

Je-li $f(x,y)=\arctan\,sqrt{x^4+y^2}$ , pak

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{1+x^4+y^2}\cdot \frac{2x^3}{sqrt{x^4+y^2}}$ , pokud $[x,y]\ne [0,0]$ , to je jasné . Dále z definice parciální derivace

(1) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac {f(h,0)-f(0,0)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac {\arctan\,sqrt{h^4}\,-\,0}{h}= \lim_{h \to 0} \frac {\arctan\,h^2}{h} =\lim_{h \to 0} \frac {\arctan\,h^2}{h^2}\cdot h = 1\cdot 0 = 0$ .

Nyní je potřeba spočítat limitu

$L \,:= \,\,\lim_{\small{[x,y]\to[0,0]}} \,\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\, =\,\,\lim_{\small{[x,y]\to[0,0]}} \,\,\frac{1}{1+x^4+y^2}\cdot \frac{2x^3}{sqrt{x^4+y^2}}\,=\,\,\lim_{\small{[x,y]\to[0,0]}} \,\, \frac{2x^3}{sqrt{x^4+y^2}}$ .

Ke spojitosti $\partial_x f$ v bodě [0, 0] je podle (1) nutné a postačující, aby L = 0.

EDIT1. Limitu L jsem zatím podrobně nepočítal, ale zafixujeme-li y=0, dostáváme llimitu
$\lim_{x\to 0} \, \frac{2x^3}{sqrt{x^4}}\,=\,\lim_{x\to 0} \, \frac{2x^3}{x^2}\,=\,\lim_{x\to 0} \, 2x\,=\,0$ .

EDIT2. K výpočtu limity L použijeme úpravu a odhad
$\frac{|2x^3|}{sqrt{x^4+y^2}} =\frac{2|x|x^2}{sqrt{x^4+y^2}} =\frac{2|x|\sqrt{x^4}}{sqrt{x^4+y^2}}\le\frac{2|x|\sqrt{x^4+y^2}}{sqrt{x^4+y^2}}=2|x|$ .
Odtud je patrníé, že L = 0 .

halogan · 21. 06. 2010 10:35

$\lim_{y\rightarrow0}\frac{arctg(y)-arctg(0)}{y-0}=1$

Pozor, tam není arctan y, ale $\text{arctan} \sqrt{y^2}$ .

LukasM · 21. 06. 2010 11:28 — Editoval LukasM (21. 06. 2010 11:38)

↑ Rumburak:
Díky, jsem rád že jsem alespoň na správné cestě, i když tam mám chyby. Pokud jde o výpočet té limity L, v prvním příspěvku jsem její existenci vyvrátil, ale udělal jsem při tom chybu, to s těma nekonečnama je blbost. Obě mnou zmíněné limity při pevném y vycházejí nula (viz. tvůj edit).

Jak ale vypočtu tu limitu L? Jak jsem psal, vím, že nalezením dvou drah po kterých vyjdou různé limity ukážu, že limita neexistuje. Pokud ale po všech drahách co mně napadnou vyjde limita stejná, co musím splnit abych mohl prohlásit, že celková limita L existuje a rovná se tomu číslu? Existuje na to nějaký standardní postup?
Edit: teď jsem si přečetl tvůj editovaný příspěvek, a už to vidím. Děkuju:-)

↑ halogan:
Taky děkuju, za tohle se docela stydím, už mám toho učení evidentně dost. Potom by tedy měl správný závěr být, že $\lim_{y\rightarrow0}\frac{arctan{sqrt{y^2}}-arctan{0}}{y-0}$ neexistuje, protože zleva a zprava vychází různá čísla (+1 a -1), a funkce tedy v bodě [0,0] nemá parciální derivaci podle y. Proto je $\frac{\partial f}{\partial y}$ nespojitá v [0,0], a výpočet $\lim_{\small{[x,y]\to[0,0]}} \,\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ nemá smysl dělat - jedině v případě že by mně zajímalo jestli je nespojitost odstranitelná nebo ne. Je to tak, nebo tam mám zas něco blbě?

Rumburak

↑ LukasM:
Pokusím se odpovědět na otázku směrovanou na kolegu Halogana: Ano, z uvedených důvodů $\frac{\partial f}{\partial y}$ v bodě [0,0] neexistuje, proto $\frac{\partial f}{\partial y}$
nemůže být v tomto bodě spojitá a případná hodnota limity
$\lim_{\small{[x,y]\to[0,0]}} \,\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$
s tím nic nenadělá (snadno ovšem zjistíme, že tato limita rovněž neexistuje).

LukasM · 21. 06. 2010 18:27

↑ halogan:, ↑ Rumburak:
Tak fajn, to bude všechno. Oběma moc děkuju za váš čas :-)

Matematické Fórum

#1 20. 06. 2010 17:19 — Editoval LukasM (20. 06. 2010 22:44)

Spojitost parciálních derivací

#2 21. 06. 2010 10:32 — Editoval Rumburak (21. 06. 2010 11:27)

Re: Spojitost parciálních derivací

#3 21. 06. 2010 10:35

Re: Spojitost parciálních derivací

#4 21. 06. 2010 11:28 — Editoval LukasM (21. 06. 2010 11:38)

Re: Spojitost parciálních derivací

#5 21. 06. 2010 13:46 — Editoval Rumburak (21. 06. 2010 13:51)

Re: Spojitost parciálních derivací

#6 21. 06. 2010 18:27

Re: Spojitost parciálních derivací

Zápatí