Matematické Fórum

easy · 22. 06. 2010 18:55 — Editoval easy (22. 06. 2010 19:02)

Zdravím,

při opakování na zkoušky jsem narazil na tento příklad.

Najděte koeficient u $x^3$ v $(x+1)^5 (2x+1)^4$

Rozdělil jsem si to na jednotlivé závorky.
$\sum\limits_{r=0}^5 {{5}\choose{r}} x^{5-r} 1^r\nl \sum\limits_{k=0}^4 {{4}\choose{k}} (2x)^{4-k} 1^k\nl$

Vím, že hledám výraz u $x^3$ tzn. že můžu napsat $x^{5-r} x^{4-k} = x^3$ .
Odtud,
$9-r-k=3$
$r = -k+6$ .

Ale co potom? Pamatuju si, že jsme vytvářeli tabulku s hodnotama $r$ a $k$ ale už jsi nepamatuju jak se určovalo pro které kombinace $r$ a $k$ bude $x^3$ .

Jak bych pokračoval? Existuje nějaká jednodušší metoda? Mohli byste mě případně odkázat na nějakou literaturu?

EDIT: V tomto případě by se to dalo uhádnout ale pokud bych měl $(a-b)^n$ a $a$ nebo $b$ by byl zlomek s $x$ ve jmenovateli tak by se to zkomplikovalo.

Děkuji, easy

Pavel Brožek

↑ easy:

Členy z prvního rozvoje se násobí se členy z druhého rozvoje každý s každým. Ale pouze ty dvojice, které budou splňovat $r = -k+6$ ti dají $x^3$ . Musíš takové dvojice najít a koeficienty u nich posčítat.

Přitom víš, že $r\in\{0,1,2,3,4,5\}$ a $k\in\{0,1,2,3,4\}$ .

easy · 22. 06. 2010 19:20

Znamena to ze to budou $r=2, k=4$ , $r=3, k=3$ a $r=4, k=2$ ??

Nějak jsem se do toho zamotal. Vyzkoušim další příklad.

Pavel Brožek · 22. 06. 2010 19:25

↑ easy:

A ještě $r=5, k=1$ . Jak na tyto možnosti přijdeme? Víme, že $k\in\{0,1,2,3,4\}$ . Tak tu množinu budu postupně procházet, z rovnice $r = -k+6$ dopočítám r a pokud bude takové r z $\{0,1,2,3,4,5\}$ , pak se takový člen v rozvoji objeví.

easy · 22. 06. 2010 19:26

↑ BrozekP:

Pravda, už chápu. Děkuju za pomoc.

Matematické Fórum

#1 22. 06. 2010 18:55 — Editoval easy (22. 06. 2010 19:02)

Binomická věta

#2 22. 06. 2010 19:03 — Editoval BrozekP (22. 06. 2010 19:04)

Re: Binomická věta

#3 22. 06. 2010 19:20

Re: Binomická věta

#4 22. 06. 2010 19:25

Re: Binomická věta

#5 22. 06. 2010 19:26

Re: Binomická věta

Zápatí