Matematické Fórum

Spybot · 22. 06. 2010 20:50 — Editoval Spybot (22. 06. 2010 20:52)

Zdravim, neviem, ci vyuzivam tuto sekciu uplne spravne; no priklad, ktory predlozim nepatri medzi klasicke stredoskolske ulohy, ktore sa pocitaju na hodine a obavam sa, ze ak by som ho dal normalne do "Stredna skola", moze akosi...zapadnut.

Nehovoriac o tom, ze sa moze najst niekto, kto bude povazovat tento priklad za netradicny, zaujimavy.

Zadanie znie jednoducho, urcte $n$ .
(Exponent pokracuje az do nekonecna)

$\Large n^{n^{n^{n^{n}}}}=2$

Uz dlhsie mi tato uloha vrta v hlave, no nemam absolutnu predstavu, co s nou. Riesenie viem.

Vopred velka vdaka za pomoc.

jarrro · 22. 06. 2010 21:01 — Editoval jarrro (22. 06. 2010 21:05)

bola tu niekde taká téma dávnejšie skúsim pohľadať najprv skús kuknúť sem

BakyX · 22. 06. 2010 21:07

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Spybot · 22. 06. 2010 21:41 — Editoval Spybot (22. 06. 2010 21:42)

↑ BakyX:
Ano, bolo mi povedane, ze to, co uvadzas je naozaj spravna odpoved, ked to tak pojde do nekonecna

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

, bude sa to vraj rovnat $2$ .

Treba to ale dokazat.

↑ jarrro:
Vdaka, aspon nieco. Mam pojem, s ktory mozem googlit.

Pavel Brožek · 22. 06. 2010 21:54

Když definujeme (jak je na Wikipedii)
$^0a=1\nl ^na=a^{(^{n-1}a)}$ ,

tak

$^1a=a^{^0a}=a\nl ^2a=a^{^1a}=a^a\nl ^3a=a^{^2a}=a^{a^a}\nl \ldots$

Hledáme tedy

$\lim_{n\to\infty}^na$ .

Předpokládejme, že taková limita existuje a rovná se A. Z definice platí

$^na=a^{^{n-1}a}$ .

Proveďme limitu $n\to\infty$ na obou stranách.

$A=\lim_{n\to\infty}a^{^{n-1}a}$

Podle věty o limitě složené funkce

$A=\lim_{n\to\infty}a^{^{n-1}a}=a^{\lim_{n\to\infty}(^{n-1}a)}=a^A$ .

Vyřešením rovnice $A=a^A$ vzhledem k $a$ dostaneme

$a=A^{\frac1A}$ .

Pokud $A=2$ , pak $a=2^{\frac12}=\sqrt2$ .

Ještě jednou upozorňuji, že tento postup není kompletní, předpokládá totiž, že limita

$\lim_{n\to\infty}^n(\sqrt{2})$

existuje.

Spybot · 22. 06. 2010 22:00

Ufff, tento priklad mam od spoluziaka, ktory bol na akomsi matematickom sustredeni (uz vraj nevie, ako sa to riesilo).

Kazdopadne, o limitach zatial ani len nechyrujeme. Nedolo by sa to nejako inak?

Pavel Brožek · 22. 06. 2010 22:02

↑ Spybot:

Limitu potřebujeme už k tomu, abychom vůbec takový nekonečný výraz mohli definovat. Nebo jak bys ho korektně jinak definoval?

Spybot · 22. 06. 2010 22:34 — Editoval Spybot (22. 06. 2010 22:36)

Ina korektna definicia? Netusim.

Je jednoducho mozne, ze im na tom sustredeni (z nutnosti nezachadzat az prilis daleko) povedali nieco ako "dohodnime sa, ze verime, ze plati, ze to ide do nekonecna". Neviem.
Viem len, ze v tejto vekovej kategorii pravdepodobne limity nepouzivali. Ak to bez nich za ziadnych okolnosti nejde, tak teda nic.

A ospravedlnujem sa za sirenie takychto pseudomatematickych sarlatanstiev.

Pavel Brožek · 22. 06. 2010 22:42

↑ Spybot:

Tak já tam s těmi limitami nedělám zase žádné extra nepochopitelné věci. Vlastně říkám, že když mám

$A=a^{a^{a^{\ldots}}}$ ,

a vezmu $a$ a umocním ho na A, tak dostanu

$a^A=a^{(a^{a^{a^{\ldots}}})}=a^{a^{a^{a^{\ldots}}}}=a^{a^{a^{\ldots}}}=A$ .

Ale není to tak korektní, jako když o tom píšu ve smyslu limit.

lukaszh · 22. 06. 2010 23:09

↑ Spybot:

Takpovediac nerigoróznym postupom

$\boxed{n^{n^{n^{n\cdots}}}}=2$

$n^{\boxed{n^{n^{n\cdots}}}}=2$

(*) $n^2=2\Rightarrow n=\sqrt{2}$

To isté čo Pavel. Tak isto by sme mohli uvažovať, že prvý nekonečný reťazec má hodnotu 2. Potom

$n^{n^{\boxed{n^{n\cdots}}}}=2$

To orámované je zasa 2. Teda máme rovnicu

$n^{n^{2}}=2$

ktorá je zasa príliš zložitá na to aby sme ju riešili. Inak koreň je zasa $\sqrt{2}$ . Preto stačí uvažovať (*), ktorú vyriešime pohodlne.