Matematické Fórum

Joker478 · 22. 06. 2010 22:07

Ahoj, potreboval bych poradit s timto prikladem.

Pri defoormaci rotacniho valce se jeho polomer zvetsil z 2 na 2,05 a vyska se zmensila z 10 na 9,8. Pomoci totalniho diferencialu urcete pribliznou zmenu objemu valce.

Opravdu si s timto nevim rady... mohl by mi tento priklad nekdo prosim polopate vysvetlit abych z toho pochopil jak se resi ruzne typy techto prikladu ? ... Dekuji za pomoc

lukaszh · 22. 06. 2010 22:57

↑ Joker478:

Totálny diferenciál (pre dve premenné) je

$\rm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x_1}\,\rm{d}x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\,\rm{d}x_2$

V tomto prípade odhadujeme prírastok $\rm{d}f$ . Keďže v zadaní chcú odhadnúť nárast objemu, tak $\rm{d}V$ . Objem valca je funkcia dvoch premenných - výška a polomer podstavy. T.j. $V=V(r,v)=\pi r^2v$ . Totálny diferenciál prepíšeme pre naše účely

$\rm{d}V=\frac{\partial V}{\partial r}\,\rm{d}r+\frac{\partial V}{\partial v}\,\rm{d}v$

Vypočítame derivácie a ich hodnotu v bode (2,10)

$\partial V/\partial r=2r\pi v\nl\partial V/\partial v=\pi r^2$
$\partial V/\partial r(2,10)=2\cdot 2\pi\cdot 10=40\pi\nl\partial V/\partial v(2,10)=\pi 2^2=4\pi$

Počítame však derivácie v bode (2,10) z ktorého sa vychyľujeme o odchýlku (+0.05,-0.20). T.j. $\rm{d}r=0.05$ a $\rm{d}v=-0.20$ . Zistené údaje dosadíme do vzorca

$\rm{d}V=40\pi\cdot0.05+4\pi\cdot (-0.20)=2\pi-0.8\pi=\boxed{1.2\pi}$