Matematické Fórum

Balcik · 23. 06. 2010 16:56

Dobrý den,

narazil jsem v mých příkladech na již vyřešený příklad a projíždím si ho ke zkoušce, avšak nedaří se mi ho opětovně vyřešit.

První dotaz: Můžu někoho poprosit o rozepsání zakroužkovaného výsledku?
Druhý dotaz: Jak se používá tzv. Hessova matice? A jak se díky ní dozvím "extrémy funkce"?

Př.:

lukaszh · 23. 06. 2010 17:10

↑ Balcik:

Zakrúžkované: Nemám čo dodať, len sa to derivuje. Môžeš si prejsť metódy derivovania.

Hessova matica: Ak je pozitívne definitná v stacionárnom bode -> lokálne minimum, záporne definitná v st.b. -> lokálne maximum.

kaja(z_hajovny) · 23. 06. 2010 18:37

mozna pomuze http://user.mendelu.cz/marik/maw/index. … m=minmax3d

ondrej.hav

↑ Balcik:To co jsi zakroužkoval jsou parciální derivace... to znamená, že derivujeme (v prvnim pripade) podle x a pak podle y... Druhou proměnnou vždy bereme jako konstantu...

Vektor, ktery obsahuje prvni parcialní derivase ce snazývy gradient....

Stacionární bod je takový pro který platí, že gradient v tomto bodě je roven nulovému vektoru...

A Hessova matice: Tak to je matice druhých parciálních derivací.... viz.: Odkaz

No a o jake druhy extremu se jedná poznáme právě z Hessovy matice, dosazením stacionárních bodů... Pak např. podle Silvestrova kritéria rozhodneme o definitnosti te formy a tím dostaneme druh dosazovaného bodu. Můžou nastat tři možnosti. Minimum, maximum a sedlo...

Pokud je pozitivně definitní tak se jedná o bod minima
Pokud je negativně definitní jedná se o bod maxima
pokud je indefinitní jedná se o sedlový bod
Pokud je jakkoli semidefinitní pak nemůžeme rozhodnout....

Balcik · 23. 06. 2010 20:48

pořád mi to není jasné.. když mám brát druhou proměnnou jako konstantu, tak derivace bude rovna 0, je to tak?

Viz. př. - kde mám chybu?

lukaszh · 23. 06. 2010 21:12

↑ Balcik:

Odkiaľ si vzal ten zlomok? Príklad: Máme polynóm $f(x,y)=x^2+y^2+xy$ . Máme derivovať podľa x. Tak si zafixujeme premennú y a berieme ju ako číslo.

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+xy)=2x+0+1\cdot y=2x+y$

ondrej.hav

Celý ten zlomek to $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ značí pouze to, že děláme parciální derivaci funkce f podle proměnné x... Jednoduše si představ (při $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ ) že y je nějaké číslo... například (8)...
a pokud budš mít polynom, $x^2+8^2+x*8$ tak při derivování (klasicky podle x jak si zvyklý z funkcí jedné proměnné) budeš derivovat jako $2x + 0 + 8*x$
a teď si představ že to číslo je to tvoje y... to znamená, že pokud derivuješ samotná y dostáváš nulu a pokud derivuješ součin y*x tak dostaneš y...

stejně jako když by si derivoval 8*x tak dostaneš 8.

Uf... polopatičtěji už to neumím...

Pak například $yx^2$ by si derivoval jako $2yx$ ...
Stejně jako $2x^2$ by si derivoval jako $4x$ nebo rozepsané $2*2*x$

Rozumíme?

Balcik · 23. 06. 2010 22:07

rozumíme.. já derivovat jednu neznámou dokážu, jen jsem nikdy nederivoval 2, čili jsem přesně nevěděl, jak do toho...
Patří ti velký dík.

Grein · 23. 06. 2010 23:36 — Editoval Grein (23. 06. 2010 23:41)

Ahoj, tady mas vyreseny kompletne cely priklad :-)
Pomoci te Hessovy matice, zjistis zda v tom Stacionarnim bode je ubec nejaky extrem, kdyz vyjde mensi jak 0, tak neni, kdyz vetsi jak 0, tak je a kdyz vyjde =0, tak nelze rozhodnout... Kdyz teda zjistis, ze tam je extrem, tak se ridis podle te druhe parcialni derivace podle x, kdyz je to mensi jak nula, tak tam je maximum a kdyz vetsi jak nula, tak je tam minimum. Doufam, ze to pochopis z meho textu :-).

ondrej.hav

↑ Grein:
Nejdříve bych chtěl reagovat na spojení matice je < 0. Asi není od věci napsat determinant...

Možná by bylo lepší uvést Silvestrovo kritérium...

Avšak to co napsal Grein rozhodně platí. Jestliže jste si říkali něco o sedlových bodech tak ještě může nastat situace, kdy tam sice není extrém, ale sedlový bod... to znamená že v jednom směru se jedná o minimum a v druhém o maximum...

Takovou vlastnost má stacionární bod v případě že nastane jakákoli nenulová možnost, která nevyhovuje dříve uvedeným podmínkám...

LukasM · 24. 06. 2010 10:49

↑ Grein:, ↑ ondrej.hav:
Ahoj. Jen považuju za vhodné zmínit, že tento návod platí pouze pro funkce 2 proměnných. Obecně by to mělo být snad takto:

Hessova matice singulární - nelze rozhodnout

Pokud je regulární tak platí:
pozitivně definitní => lokální minimum
negativně definitní => lokální maximum
indefinitní => sedlový bod

Pozitivní, resp. negativní definita se dá určit pomocí Sylvestrova kritéria: matice je pozitivně definitní, pokud všechny hlavní rohové subdeterminanty jsou kladné. Pokud je první záporný a další postupně střídají znaménka, pak je matice negativně definitní. Pokud neplatí ani jedno (a Hessova matice je přitom regulární), pak je matice indefinitní.

Poprosil bych někoho zběhlejšího, aby to kdyžtak potvrdil.

Grein · 24. 06. 2010 15:01

↑ LukasM:
jasny, ale otazka byla kladena na lokalni extremy s 2 promennymi, tak jsem nepovazoval za dulezite, tady zacit vypravet o 3 a vice promennych :-)

ondrej.hav · 24. 06. 2010 15:14

↑ LukasM:Jasně, proto jsem psal, že by bylo vhodnější uvést Sylvestra... Nicméně pro zadání (funkce dvou proměnných) jsem souhlasil s Greinem...

P.S.: Ty jednotlivé případy definitnosti jsem už výše uvedl...

LukasM · 24. 06. 2010 15:25

↑ Grein:, ↑ ondrej.hav:
Já vím, však jsem nenapsal že je tam něco špatně. Jenom jsem prostě myslel, že je potřeba to zmínit, aby se autor tématu (nebo někdo jiný) nenaučil ten návod nazpaměť, a potom se divil že má písemku blbě, protože v zadání byla funkce 3 proměnných. To je celé:-)

Matematické Fórum

#1 23. 06. 2010 16:56

Extrémy funkce(x,y)

#2 23. 06. 2010 17:10

Re: Extrémy funkce(x,y)

#3 23. 06. 2010 18:37

Re: Extrémy funkce(x,y)

#4 23. 06. 2010 20:02 — Editoval ondrej.hav (23. 06. 2010 20:07)

Re: Extrémy funkce(x,y)

#5 23. 06. 2010 20:48

Re: Extrémy funkce(x,y)

#6 23. 06. 2010 21:12

Re: Extrémy funkce(x,y)

#7 23. 06. 2010 21:38 — Editoval ondrej.hav (23. 06. 2010 21:47)

Re: Extrémy funkce(x,y)

#8 23. 06. 2010 22:07

Re: Extrémy funkce(x,y)

#9 23. 06. 2010 23:36 — Editoval Grein (23. 06. 2010 23:41)

Re: Extrémy funkce(x,y)

#10 24. 06. 2010 00:24 — Editoval ondrej.hav (24. 06. 2010 00:27)

Re: Extrémy funkce(x,y)

#11 24. 06. 2010 10:49

Re: Extrémy funkce(x,y)

#12 24. 06. 2010 15:01

Re: Extrémy funkce(x,y)

#13 24. 06. 2010 15:14

Re: Extrémy funkce(x,y)

#14 24. 06. 2010 15:25

Re: Extrémy funkce(x,y)

Zápatí