Matematické Fórum

CzechMan

Dobrý den ve spolek.
Omlouvám se za nicneříkající bulvární název :)

Napadla mě taková variace na jednu školní úlohu.

Máme křivku zadanou funkcí f a souřadnice bodu C.
Je třeba najít $\triangle\ ABC$ s minimálním obvodem, aby body A a B ležely postupně na x-ose a křivce.

Řešení je nasnadě, když je f lineární fcí:
Obrázek

(pouze využití osové souměrnosti)
Lze najít řešení čistě graficky a obvod se dá taky spočítat, což je tady asi všem jasné :)

Ale kdyby byl problém zkomplikovaný trochu méně netriviální fcí f?
Pak:
-Existuje obecný princip nalezení bodů A, B? (pokud ano, asi půjde zase o využití souměrnosti, ale to se mi příliš nezdá.)
Obrázek
například v tomto případě je jasné, že to nebude fungovat.

-Existují tedy geometrické postupy (nebo jak to nazvat) pro vyhledání bodů A,B?
-Dejme tomu, že fce na druhém obrázku je $y\ =\ (x-a)^2+b$ , lze najít aspoň početní řešení?
-A najdeme početní řešení pro všecny fce?

"Problém" by se dal ještě zobecnit nebo naopak zadat více omezujích podmínek. Ale snad pro tuto chvíli bude stačit toto :)

Kondr · 17. 09. 2007 00:22

V případě paraboly je úloha jistě řešitelná, když C leží na řídící přímce. Pro obecnou křivku lze obvod vyjádřit jako funkci dvou proměnných a pomocí parciálních derivací hledat její minimum, početně to není moc hezké.

CzechMan · 17. 09. 2007 22:08

Aha ...no tomu již nerozumím. Ale taková fce musí být zajímavá.
No hlavní je, že se dá trojúhelník vyřešit :)
Díky

Kondr · 17. 09. 2007 23:58

Ta funce je celkem jednoduchá:
$o(t,s)=\sqrt{y^2+(x-s)^2}+\sqrt{(y-f(t))^2+(x-t)^2}+\sqrt{f(t)^2+(x-s)^2}$
s parciálními derivacemi už je to horší...

CzechMan · 18. 09. 2007 20:52

Aha! ..Vždy? to je jasné :) Jenom pythagorova věta. Parciální derivaci nežádám, neboj :) Děkuji

Matematické Fórum

#1 16. 09. 2007 20:20 — Editoval CzechMan (17. 09. 2007 21:57)

Matematická hra, aneb hledáme trojúhelník

#2 17. 09. 2007 00:22

Re: Matematická hra, aneb hledáme trojúhelník

#3 17. 09. 2007 22:08

Re: Matematická hra, aneb hledáme trojúhelník

#4 17. 09. 2007 23:58

Re: Matematická hra, aneb hledáme trojúhelník

#5 18. 09. 2007 20:52

Re: Matematická hra, aneb hledáme trojúhelník

Zápatí