Matematické Fórum

Lucinecka88 · 24. 06. 2010 11:30

Ahoj, prosím o pomoc s příkladem. Nevím si s tím rady. V zadání mám řešte:

gadgetka

rozklad podle vzorce $a^3-b^3$ a vyjde ti jeden reálný kořen a dva z oboru komplexních čísel

Mr.Pinker · 24. 06. 2010 11:38

na tyhle příklady existuje jeden trik jeden kořen uhádneš a u rovnic třetího řádu doplníš do jednotkový kružnice na pravidelný trjuhelník

gadgetka · 24. 06. 2010 11:42

$(r-1)(r^2+r+1)=0\nl\rm{a)}r-1=0\Rightarrow r_1=1\nl\vee\nl \rm{b)}r^2+r+1=0\nlr_{2,3}=\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{3i^2}}{2}\nlr_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\nlr_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i$

Dr. Marlen · 24. 06. 2010 11:52

Anebo tu minus jedničku převedš na pravou stranu rovnice, kterou pak prostě odmocníš (třeba přes rozšířenou moivreovu větu). Třetí odmocnina z nenulového komplexního čísla má v oboru komplexních čísel 3 řešení, která budou zároveň kořeny rovnice.

Lucinecka88 · 24. 06. 2010 12:07

Děkuji,ale jak udělám i tyto příklady? Nikdy jsem to nepočítala a ani neviděla.

Dr. Marlen · 24. 06. 2010 12:15

Univerzální postup je, že převedeš na pravou stranu vše, kromě neznámé, a pak tu rovnici odmocníš. V prvním příkladě tedy vyjde třetí odmocnina z i, ve druhém šestá odmocnina z jedné a ve třetím čtvrtá odmocnina z (-1+i). Všechna řešení těch odmocnin pak dopočítáš tou upravenou Moivreovou větou.

zdenek1 · 24. 06. 2010 12:20

↑ Lucinecka88:
1) $r^3-i=0$
$r^3+i^3=0$
$(r+i)(r^2-ri+i^2)=0$
$r_1=-i$ nebo $r^2-ir-1=0$
$D=(-1)^2+4=3$
$r_{2,3}=\frac{i\pm\sqrt3}2$

zdenek1 · 24. 06. 2010 12:28

↑ Lucinecka88:
2) $r^6-1=0$
$(r^3+1)(r^3-1)=0$
$(r+1)(r^2-r+1)(r-1)(r^2+r+1)=0$

$r_1=-1$
$r_2=1$

$r^2-r+1=0$
$D=1-4=-3=3i^2$
$r_{3,4}=\frac{1\pm i\sqrt3}2$

$r^2+r+1=0$
$D=1-4=-3=3i^2$
$r_{5,6}=\frac{-1\pm i\sqrt3}2$

Lucinecka88 · 24. 06. 2010 12:33

↑ zdenek1:

Ahoj, děkuji. Mohla bych tě poprosit o vysvětlení 1, tak aby mě to vyšlo v sin a cos?

zdenek1 · 24. 06. 2010 12:47

↑ Lucinecka88:
$r^3=i$
Vyjádříš si obě čísla v goniometrickém tvaru
$r=|r|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ , $i=1(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2)$
Rovnice je pak
$|r|^3(\cos3\varphi+i\sin3\varphi)=1(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2)$
takže
$|r|^3=1\ \Rightarrow\ |r|=1$ a , $k=0,1,2$
$\varphi_k=\frac{\frac\pi2+2k\pi}3$ , $k=0,1,2$
$\varphi_0=\frac\pi6$ $r_0=1(\cos\frac\pi6 + i\sin\frac\pi6 )$
$\varphi_1=\frac{5\pi}6$ $r_1=1(\cos\frac{5\pi}6 + i\sin\frac{5\pi}6 )$
$\varphi_2=\frac{3\pi}2$ $r_2=1(\cos\frac{3\pi}2 + i\sin\frac{3\pi}2 )$