Matematické Fórum

silr · 27. 06. 2010 14:38

Dobrý den,
nevím si rady se 4 příkladem nemol by mi někdo nastínit postup jak to řešit?

lukaszh · 27. 06. 2010 18:34

↑ silr:

Môžeš to počítať klasickým "algoritmom". Ak nevieš ako sa to počíta (čo predpokladám), tak siahni po internetových materiáloch. Načrtnúť krivku je vec strednej školy, pôjde o pootočený štvorec, stačí si uvedomiť symetriu vo všetkých kvadrantoch. Potom si uvedomíme symetriu integrandu a to, že na všetkých vetvách krivky C sú nadobúdané hodnoty symetricky, čo znamená, že nám stačí počítať integrál len po jednej časti, napríklad v I. kvadrante.

$I=\int_{C}|xy|\,\rm{d}s=4\cdot\int_{C_1}xy\,\rm{d}s$

Parametrizácia časti krivky v prvom kvadrante je

$C_1=\{[x,y]\in\mathbb{R}^2\,:\;x=\tau\,,\;y=1-\tau\,|\;\tau\in\langle0,1\rangle\}$

A dopočítame integrál

$I=4\cdot\int_{0}^{1}\tau\cdot(1-\tau)\cdot\boxed{\sqrt{1^2+(-1)^2}\,\rm{d}\tau}=4\sqrt{2}\cdot\int_{0}^{1}\tau-\tau^2\,\rm{d}\tau=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

-------------------------------------------------------------------------------

Pozn.: Popri tej parametrizácii je potrebné určiť ten dĺžkový element

$\rm{d}s=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,\rm{d}\tau$