Matematické Fórum

byk7 · 16. 06. 2010 12:28

Určete, který ze zlomků je větší:

[1]
$\frac{1}{999\,999}+\frac{1}{1\,000\,001}$ a $\frac{1}{500\,000}$

[2]
$\frac{23\,456\,798}{29\,876\,543}$ a $\frac{23\,456\,789}{29\,876\,534}$

[3]
$\frac{5\,555\,555\,553}{5\,555\,555\,557}$ a $\frac{6\,666\,666\,664}{6\,666\,666\,669}$

Honzc · 16. 06. 2010 13:14

↑ byk7:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 16. 06. 2010 18:42

↑ Honzc:

a co nějaký postup?

taky bys to mohl dát do hide-u

byk7 · 28. 06. 2010 16:44

Dá někdo nějaký postup, nebo mám označit toto téma jako vyřešené?

Pavel · 28. 06. 2010 20:09 — Editoval Pavel (28. 06. 2010 20:40)

ad 1)

Platí totiž

$\frac 1{2n-1}+\frac 1{2n+1}>\frac 1n\,,\qquad n>1,$

protože

$\frac 1{2n-1}+\frac 1{2n+1}=\frac {4n}{4n^2-1}>\frac {4n}{4n^2}=\frac 1n\,.$

Nyní stačí dosadit $n=500\,000$ - podmínka v dokázané nerovnosti je pro toto číslo splněna.

ad 2)

$\frac ab> \frac {a-9}{b-9}\,,\qquad a<b,\ a,b>9,$

protože

$\frac ab> \frac {a-9}{b-9}\nl a(b-9)>(a-9)b\nl ab-9a>ab-9b\nl b>a.$

Dosaď si nyní $a=23\,456\,798$ , $b=29\,876\,543$ - podmínky v dokázané nerovnosti jsou pro tato čísla splněny.

ad 3)

$\frac {a}{a+4}>\frac {b}{b+5}\,,\quad a>\frac 45b,\ a,b>0,$

protože

$\frac {a}{a+4}>\frac {b}{b+5}\nl a(b+5)>b(a+4)\nl ab+5a>ab+4b\nl a>\frac 45b.$

Stačí nyní položit $a=5\,555\,555\,553$ , $b=6\,666\,666\,664$ - podmínky v dokázané nerovnosti jsou pro tato čísla splněny.

byk7 · 28. 06. 2010 20:28 — Editoval byk7 (28. 06. 2010 20:29)

↑ Pavel:

Ne, že bych nevěděl, jak přijít k řešení (aspoň z mého pohledu tak vaše odpověď vyzněla).

Chtěl jsem jenom nějaký korektní postup, jako to někdy vyžaduje kolega Marian. :-)

Děkuji, osobně jsem na to šel trošku jinak.

Edit: Mohl byste se prosím ještě vrátit k tomuto? Děkuji

Pavel · 28. 06. 2010 20:34 — Editoval Pavel (28. 06. 2010 20:35)

A co je na tom nekorektního? Dokazuji obecnou nerovnost pro reálná čísla a,b,n. A jako speciální případ dostávám řešení původní úlohy. Takto lze porovnávat čísla bez užití kalkulačky.

byk7 · 28. 06. 2010 20:37

↑ Pavel:

Ne ne, asi jsem to špatně formuloval.

Chtěl jsem jen říct, že řešení jako uvádí kolega Honzc, se mi moc nelíbí.

Matematické Fórum

#1 16. 06. 2010 12:28

Porovnávání zlomků

#2 16. 06. 2010 13:14

Re: Porovnávání zlomků

#3 16. 06. 2010 18:42

Re: Porovnávání zlomků

#4 28. 06. 2010 16:44

Re: Porovnávání zlomků

#5 28. 06. 2010 20:09 — Editoval Pavel (28. 06. 2010 20:40)

Re: Porovnávání zlomků

#6 28. 06. 2010 20:28 — Editoval byk7 (28. 06. 2010 20:29)

Re: Porovnávání zlomků

#7 28. 06. 2010 20:34 — Editoval Pavel (28. 06. 2010 20:35)

Re: Porovnávání zlomků

#8 28. 06. 2010 20:37

Re: Porovnávání zlomků

Zápatí