Matematické Fórum

scotie · 29. 06. 2010 16:04

Mám zistit obor konvergencie..Ale niesom si isty ci spravne postupujem.Vyuzivam na to limitne podielove kriterium

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(1-2x)^n}$

$L = \lim_{n \to \infty} \| \frac{\quad \frac{1}{(n+1)(1-2x)^{n+1}} \quad}{\frac{1}{n(1-2x)^{n}}} \|$

A vychadza mi:

$L = |\frac1{1-2x}|$

Rumburak · 29. 06. 2010 16:25

Ano, to je správně, ovšem za předpokladu, že 1 - 2x =/= 0 (jinak by ani řada neměla smysl).
Zbývá jen provést správný závěr.

Pozn. Nebo lze substitucí $y = \frac1{1-2x}$ převést danou řadu na $\sum_{n=1}^{\infty} \,\frac{1}{n}\,y^n$ a využít poznatků
z teorie mocninných řad.

scotie · 29. 06. 2010 16:45

↑ Rumburak:

Cize obor mi vysiel takyto:

$-1 < |\frac1{1-2x}| < 1$

$(0,1)$ Moze to tak byt???

Rumburak · 29. 06. 2010 16:59

↑ scotie:
Vzhledem k nezápornosti absolutní hodnoty je levé "křídlo" nerovnosti $-1 < |\frac1{1-2x}| < 1$ zbytečné.

Závěr by měl být takovýto:

- pro
(1) $|\frac1{1-2x}| < 1$
řada konverguje absolutně,

- pro
(2) $\frac1{1-2x} = -1$
řada konverguje neabsolutně (dostaneme alternaci harmonické řady, viz Leibnizovo kriterium),

- pro
(3) $\frac1{1-2x} = 1$
řada diverguje (dostaneme harmonickou řadu).

Nerovnici (1) a rovnice (2),(3) ovšem nutno vyřešit.

Matematické Fórum

#1 29. 06. 2010 16:04

Obor konvergencie radu

#2 29. 06. 2010 16:25

Re: Obor konvergencie radu

#3 29. 06. 2010 16:45

Re: Obor konvergencie radu

#4 29. 06. 2010 16:59

Re: Obor konvergencie radu

Zápatí