Matematické Fórum

leniczcha · 01. 04. 2008 18:47

Jak lze určit průsečík úhlopříček čtyřúhelníka s vrcholy A=[-3,1] B=[3,9] C=[7,6] D=[-2,-6]

plisna · 01. 04. 2008 19:44

a prusecik dvou primek urcit umis?

leniczcha · 01. 04. 2008 20:21

Bohužel nevím, možná mi bude stačit trochu na?uknout..

plisna · 01. 04. 2008 20:31

pokud umis vyjadrit rovnice obou uhlopricek, tak je to snadne - polozis je sobe rovny. dokazes vyjadrit rovnice obou uhlopricek? popripade v jakem tvaru? smernicovem, parametrickem, obecnem?

leniczcha · 01. 04. 2008 20:35

Mohla bych poprosit aspoň o náznak postupu?

plisna · 01. 04. 2008 20:42

a s cim? se sestavenim rovnic uhlopricek a nebo s vypoctem pruseciku?

leniczcha · 01. 04. 2008 21:05

Nejprve se sestavením rovnic.

plisna · 01. 04. 2008 21:15 — Editoval plisna (01. 04. 2008 21:18)

nejdrive uhlopricka urcena body A a C, pouzijeme parametricke vyjadreni: smerovy vektor $\vec{s} = \vec{AC} = (10, 5)$ , pak mame parametricke rovnice uhlopricky napriklad

$x = A_x + s_1 t\nl y = A_y + s_2 t \qquad t \in \mathbb{R}$

$x = -3 + 10t\nl y = 1 + 5t \qquad t \in \mathbb{R}$

druhou uhlopricku zkus sestavit sama.

jarrro · 01. 04. 2008 21:30

priesečník uhlopričok toho štvoruholníka je prisečník priamok AC a BD $AC:y=kx+q\nl1=-3k+q\nl6=7k+q\nlk=\frac{1}{2}\nlq=\frac{5}{2}\nlBD: y=kx+q\nl9=3k+q\nl-6=-2k+q\nlk=3\nl\underline{q=0}\nl\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}=3x\nlx=1\nlpriesecnik=[1;3]$

plisna · 01. 04. 2008 21:34

to jarro: no umis to skvele, ale nemusel jsi hned ukazat cele reseni, snazil jsem se, aby na to s mirnym popostrcenim prisla leniczcha sama.

leniczcha · 01. 04. 2008 21:35

úhlopříčka BD
s = (-5, -15)

x = 3 - 5t
y = 9 - 15t

plisna · 01. 04. 2008 21:45

to leniczcha: skvele, parametricke vyjadreni uhlopricky BD mas spravne, akorat nemuzeme pouzit stejny parametr $t$ jako uhlopricku AC, protoze je obecne jiny, takze napriklad $u$ . mame tedy dve rovnice dvou primek

$x = -3 + 10t\nl y = 1 + 5t, \qquad t \in \mathbb{R}$

a

$x = 3 - 5u\nl y = 9 - 15u, \qquad u \in \mathbb{R}$ .

prusecikem je bod pro ktery plati, ze x-ova rovnice uhlopricky AC je rovna x-ove rovnici uhlopricky BD a take y-ova rovnice uhlopricky AC je rovna y-ove rovnici uhlopricky BD.

resime tedy soustavu pro nezname $t, u$

$-3 + 10t = 3 - 5u\nl 1 + 5t = 9 - 15u$

resenim teto soustavy je $t = u = \frac{2}{5}$ .

nyni si muzeme vybrat jednu uhlopricku a dosadit do ni vypocteny parametr, napr. pro AC mame

$x = -3 + 10 \cdot \frac{2}{5} = 1\nl y = 1 + 5 \cdot \frac{2}{5} = 3$

prusecik ma tedy souradnice $[1, 3]$ . muzes se presvedcit, ze pokud pouzijeme uhlopricku BD, vyjde tentyz bod. ok?