Matematické Fórum

Horac · 13. 07. 2010 08:40

čau potřeboval bych spočíst tu tuto difernciální rovnici druhého řádu speciálním řešením pro pravou stranu, dik
y'' + 4 y= 8*(exp^(2x)) (exp = eulerovo E, nenašel sem jak jinak to zapsat, diky za schovívavost)

kaja(z_hajovny)

na to jsou i automaty: http://user.mendelu.cz/marik/maw/index. … ;form=lde2
prava strana se zapise jako 8*exp(2*x)

viz i historie (odkaz pod prislusnym formularem v MAWu) dnes v 10:18

Horac · 13. 07. 2010 18:43

↑ stenly: dikes

kaja(z_hajovny) · 13. 07. 2010 19:34

↑ stenly:
nene, to je spatne.
zkuste ten MAW co jsem odkazoval rano (dava i postup) nebo aspon wolfram alpha (jenom vysledek)

kaja(z_hajovny)

A kolik je alfa? 2? a koreny charakteristicke rovnice? $\pm 2i$ ? To neni stejne!

To nemohlo vyjit. Ten Vas postup postup byt nejaky zakamuflovany, zadne partikularni reseni ve tvaru "Q(x)*x*e^alfa*x,kde Q(x) je polynom nultého stupně,čili konstanta" neexistuje. Zkuste sem dat Vas postup, at najdeme chybu. Protoze pokud partikularni reseni hledame ve tvaru, ve kterem najit nejde, tak zcela jiste dojdeme ke sporu.

Ani zkusme dosazeni. Nevyjde

Code:

----------------------------------------------------------------------
| Sage Version 4.4.3, Release Date: 2010-06-04                       |
| Type notebook() for the GUI, and license() for information.        |
----------------------------------------------------------------------
sage: y=2*x*e^(2*x)
sage: diff(y,x,2)+4*y
16*x*e^(2*x) + 8*e^(2*x)

Sorry, ale proste to neni dobre. Hledejme ze srandy reseni ve tvaru a*x*exp(2*x): dosadim do rovnice, podelim spolecnym nasobkem a upravim:

Code:

sage: a=var('a');y=a*x*exp(2*x)
sage: diff(y,x,2)+4*y==8*exp(2*x)
8*a*x*e^(2*x) + 4*a*e^(2*x) == 8*e^(2*x)
sage: (_)/(4*exp(2*x))
(2*a*x*e^(2*x) + a*e^(2*x))*e^(-2*x) == 2
sage: expand(_)
2*a*x + a == 2
sage:

A jaka musi byt konstanta a, aby platilo $2ax+a=2$ ???

arko619xfd · 14. 07. 2010 16:03

zdravím,

kořeny charakteristické rovnice jsou komplexní čísla $\pm2i$ ,
tedy reálné číslo 2 není jejím kořenem.
Partikulární řešení hledáme ve tvaru
$y_p = C e^{(2x)}$ .
Dosazením do původní rovnice dostáváme podmínku
$4C e^{2x} + 4C e^{2x} = 8 e^{2x} \Rightarrow 4C + 4C = 8 \Rightarrow C=1$ ,
řešení původní rovnice má tedy tvar
$y = C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x) + e^{2x}$ .