Matematické Fórum

Spybot · 20. 07. 2010 14:09

Zdravim, trapim sa s nasledovnym prikladom:

$\sqrt{x}^{\log_2{(x+1)}}=2$
Moj postup:
$\log_{\sqrt{x}}2= \log_2{(x+1)} \nl \frac{\log_22}{\log_2\sqrt{x}}=\log_2{(x+1)}\nl \frac{1}{\log_2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{2}{\log_2x}=\log_2{(x+1)}\nl 2=\log_2x \cdot \log_2{(x+1)}$
Alebo, ak by som si v druhom kroku zvolil za zaklad $x+1$ , prisiel by som k:
$2=\log_{(x+1)}x \cdot \log^2_2(x+1)$

No dalej nedokazem pokracovat. Nieco som prehliadol?

Dakujem za pomoc.

hradecek

Alebo:
$\sqrt{x}^{log_2{(x+1)}}=2\nl x^{\frac{1}{2}log_2{(x+1)}}=2\nl \frac{1}{2}log_2{(x+1)}.log_2x=log_22\nl log_2{(x+1)}.log_2x=2$

Ale čo s tým ďalej ?

Cheop · 21. 07. 2010 08:08

↑ Spybot:
Nemá ta rovnice být takto?
$\sqrt{x}^{\log_2{(x+1)}}=3$

BakyX · 21. 07. 2010 09:08

↑ Cheop:

Tiež myslím, že by t malo byť takto. Potom by stačilo dokázať, že iné riešenie, ako x=3, nie je.

Spybot · 21. 07. 2010 18:50

↑ Cheop:
Hm, nema. Povodne to malo byt takto:
$\sqrt{x}^{\log_2{(x)}+1}=2$ , co je ale lahke vyriesit, tak som si priklad skusil upravit.

No nic, dufal som, ze sa to bude dat nejako analyticky vyriesit... Ak nie, tak teda nic.

Ale este budem rad, ak mi ukazete, ako by sa dokazalo, ze $\sqrt{x}^{\log_2{(x+1)}}=3$ ma len jedno riesenie.

Vdaka.

Cheop · 23. 07. 2010 07:37 — Editoval Cheop (26. 07. 2010 08:30)

↑ Spybot:
$\sqrt{x}^{\log_2{(x+1)}}=3$
Podmínky:
$x\,\ge\,0$
$\sqrt{x}^{\log_2{(x+1)}}=3\nlx^{\frac {\log_2(x+1)}{2}}=3\nl\frac{\log_2(x+1)\,\log_2\,x}{2}=\log_2\,3\nl\frac{\log(x+1)\,\log\,x}{2\,\log^2\,2}=\frac{\log\,3}{\log\,2}\nl\frac{\log(x+1)\,\log\,x}{2\,\log\,2}=\log\,3\nl\log(x+1)\,\log\,x=\log\,4\cdot\log\,3\nl\log(x+1)\,\log\,x=\log(3+1)\,\log\,3\,\Rightarrow\nlx=3$

jarrro · 23. 07. 2010 09:06 — Editoval jarrro (23. 07. 2010 09:11)

Spybot napsal(a):
budem rad, ak mi ukazete, ako by sa dokazalo, ze $\sqrt{x}^{\log_2{(x+1)}}=3$ ma len jedno riesenie.

stačí dokázať,že pre $x>1$ je tá funkcia rastúca
$1<x_1<x_2\nl1<\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}\nlx_1+1<x_2+1\nl1<\log_{2}{\left(x_1+1\right)}<\log_{2}{\left(x_2+1\right)}\nl{\sqrt{x_1}}^{\log_{2}{\left(x_1+1\right)}}<{\sqrt{x_2}}^{\log_{2}{\left(x_2+1\right)}}$ dokázali sme rastúcosť teda konkrétnu hodnotu tá funkcia nadobudne najviac raz
↑ Cheop:dobre si to myslel,ale $\log{\left(x+1\right)}\cdot\log{\left(x\right)}=\log{\left(4\right)}\cdot\log{\left(3\right)}\not{\Rightarrow}\left(x+1\right)x=12$ riešenie je samozrejme správne len by sa asi nemalo zapísať tak ako ty tada ten koniec začiatok je dobre

Cheop · 23. 07. 2010 10:03

↑ jarrro:
Díky pokusil jsem se to opravit.

Matematické Fórum

#1 20. 07. 2010 14:09

Logaritmicka rovnica

#2 20. 07. 2010 19:02 — Editoval hradecek (20. 07. 2010 19:02)

Re: Logaritmicka rovnica

#3 21. 07. 2010 08:08

Re: Logaritmicka rovnica

#4 21. 07. 2010 09:08

Re: Logaritmicka rovnica

#5 21. 07. 2010 18:50

Re: Logaritmicka rovnica

#6 23. 07. 2010 07:37 — Editoval Cheop (26. 07. 2010 08:30)

Re: Logaritmicka rovnica

#7 23. 07. 2010 09:06 — Editoval jarrro (23. 07. 2010 09:11)

Re: Logaritmicka rovnica

Spybot napsal(a):

#8 23. 07. 2010 10:03

Re: Logaritmicka rovnica

Zápatí