Matematické Fórum

NetFenix

Zdravím,
chtěl bych se zeptat, jak se dá počítat s komplexními čísly.
A to když potřebuju:
1) spočítat například cosh, sinh a argument je komplexní číslo;
2) když mám nějaké reálné číslo a mocnitel je komplexní číslo
3) a odmocnina z komplexního čísla

Nevím jestli jsem to jasně popsal, takže potřeboval bych se naučit, jak pomocí tužky, papíru a jednoduché kalkulačky dojít k výsledkům z těchto operací, např.:

sqrt(1+i)

2^(1+i)

sinh(1+i)

cosh(1+i)

Koupil jsem si schválně kalkulačku, která umí komplexní čísla, ale pouze základní operace s nimi. Nyní toto počítám v Matlabu, ale nemyslím, že mi dovolí tento program používat při písemce:-)

Děkuji moc za rady

Olin · 02. 04. 2008 22:58

1) Využiju součtové vzorce pro hyperbolické funkce:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Hyperbolick%C3%A1_funkce

Potom
$\sinh(a + b\mathrm{i}) = \sinh (a) \cosh (b\mathrm{i}) + \sinh (b\mathrm{i}) \cosh (a) = \sinh (a) \cos(b) + \mathrm{i} \cdot \sin (b) \cosh(a) \nl \cosh(a + b\mathrm{i}) = \cosh(a) \cosh (b\mathrm{i}) + \sinh (b\mathrm{i}) \sinh(a) = \cosh(a) \cos(b) + \mathrm{i} \cdot \sin (b) \sinh(a)$

Prosím překontrolujte to po mě někdo…

2) složitější, výsledek není jednoznačný, ale lze využít Eulerových vzorců, takže "zhruba platí"
$x^{\mathrm{i}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \ln x} = \dots$

NetFenix · 03. 04. 2008 14:33

Díky za pomoc, strašně mi to pomohlo z toho co jste mi poradil, jsem snad i nějak došel k tomu jak spočítat odmocninu, ale raději to tu ještě napíšu, jestli tento postup může být správný.

Konkrétní příklad: $\sqrt{0,145+j1,49}$

Absolutní hodnota:
$|z| = \sqrt{0,145^2+1,49^2 } = 1,5$
Úhel:
$\phi=84,44$
Z toho dále dostanu:
$\sqrt{1,5}*e^{j84,44*\frac{1}{2}} =\sqrt{1,5}*e^{j42,215}$
$\sqrt{1.5}*(cos\phi+jsin\phi)=0,90+j0,82$

Jde mi hlavně o to jestli je to správný postup. Kdyby na to někdo hodil oko a odouhlasil mi, že by to takto mohlo být, byl bych určitě rád.

Olin · 03. 04. 2008 19:27

Jo, postup je více méně správně. Ale pozor, jestliže jste si zvolil $\phi$ jako úhel toho původního čísla, pak musí být v argumentu těch goniometrických funkcí $\frac{\phi}{2}$ .

Jenže pozor: Všimněte si, že když k $\phi$ přičtete 180°, hodnota původního čísla se nezmění, ale po vydělení tohoto úhlu dvěma dostanete jiné číslo. I toto je platný výsledek odmocňování. Jde o to, že n-tá odmocnina má v komplexních číslech n různých hodnot, které tvoří na Gaussově rovině vrcholy rovnostranného n-úhelníka se středem v nule, pro druhou odmocninu jsou to pak 2 opačná čísla.

NetFenix · 03. 04. 2008 21:30

Ano ano, je to tak jak říkáte ten argument má být $\frac{\phi}{2}$ , ale já už jsem to o krok předtím v tom mocniteli vynásobil $\frac{1}{2}$ , aby to vyšlo. Nicméně normálně se to dělá až v těch argumentech, jak jste uvedl.

Jinak hodně díky za spolupráci

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2008 17:02 — Editoval NetFenix (02. 04. 2008 17:47)

Komplexní čísla

#2 02. 04. 2008 22:58

Re: Komplexní čísla

#3 03. 04. 2008 14:33

Re: Komplexní čísla

#4 03. 04. 2008 19:27

Re: Komplexní čísla

#5 03. 04. 2008 21:30

Re: Komplexní čísla

Zápatí