Matematické Fórum

orq.7 · 02. 04. 2008 17:04

Ahoj, dokázal byste mi někdo pomoci s tímto příkladem?, předem moc dík za nápady....(1-i)^n = 1-i

Marian · 02. 04. 2008 17:53 — Editoval Marian (02. 04. 2008 18:46)

↑ orq.7:

Neni mi jasne zneni teto ulohy pokud beru v uvahu nadpis tveho prispevku. Co mame delat s vyrazem

$(1-{\mathrm i})^{n}=1-{\mathrm i}\quad ?$

Co znamena cislo n a jak to cele souvisi presne s goniometrickym tvarem komplexnich cisel?

editace: A mimo jine, nepletme si priklad a ulohu. Priklad je od toho, aby ukazoval nebo prezentoval pouziti nejake metody, uloha je pak jiz k samostatnemu reseni spise.

orq.7 · 02. 04. 2008 20:06

je to příklad na moivrovu větu

orq.7 · 02. 04. 2008 20:08

má se zjistit takové n aby platila rovnost

Marian · 02. 04. 2008 20:25 — Editoval Marian (02. 04. 2008 20:28)

↑ orq.7:

Maji-li se dve komplexni cisla rovnat musi se rovnat prinejmensim jejich absolutni hdnoty. Zjistime absolutni hodnoty cisla na prave a leve strane. Vpravo to je jednoduche, bude

$|1-{\mathrm i}|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.$

U cisla (1-i)^n je to pomerne take snadne. Z moivrovy vety plyne rovnost |z^n|=|z|^n, kde z=1-i. Ale |1-i| uz je znama, totiz odmocnina ze dvou. Tedy je

$|(1-{\mathrm i})^n|=|1-{\mathrm i}|^n= \left (\sqrt{2}\right )^n.$

Podle zadani tve ulohy ma platit (1-i)^n=1-i. Muselo by tedy pro absolutni hodnoty techto dvou cisel platit

$\sqrt{2}=\left (\sqrt{2}\right )^n.$

Snadno se ale overi, ze tato rovnost nastava pouze v (trivialnim) pripade n=1. Navic pro tuto hodnotu n plati take pozadovana rovnost pro komplexni cisla (proto jsem dal minule vete do zavorky slovo trivialni).

Zaver. Rovnost (1-i)^n=1-i plati pouze pro cislo n=1.

Poznamka. Slo by to take resit jako exponencialni rovnici, ale exponenicalni funkce by tady byla v komplexnim oboru, coz na SŠ nepatri.

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2008 17:04

goniometrický tvar komplexního čísla

#2 02. 04. 2008 17:53 — Editoval Marian (02. 04. 2008 18:46)

Re: goniometrický tvar komplexního čísla

#3 02. 04. 2008 20:06

Re: goniometrický tvar komplexního čísla

#4 02. 04. 2008 20:08

Re: goniometrický tvar komplexního čísla

#5 02. 04. 2008 20:25 — Editoval Marian (02. 04. 2008 20:28)

Re: goniometrický tvar komplexního čísla

Zápatí