Matematické Fórum

Hodnota 0^(-1) neni definovana, nebot plati

a^(-1):=1/a,

kde a je komplexni cislo. Pro a = 0 vsak nema uvedeny vyraz (1/0) smysl. Tedy nema smysl ani vyraz 0^(-1). Tento vyrazum rikame neurcite vyrazy, ktere nejsou definovany.

Zdravim ...

Uvedom si, ze neplati rovnitko ve tvem zapisu vyse:

0^(-1) = 0^3 / 0^4.                 (*)

Problem je v tom, ze leva strana smysl ma, pricemz prava strana smysl nema (deleni nulou). Neznam tve matematicke znalosti, ale nelze souhlasit s nikym, kdo rika, ze vyrok (*) ma pravdivostni hodnotu 1. Jakysi, me neznamy "habendorf", se tedy s jistotou myli a metoda, kterou k tomuto dosel, je naivni matematicka konstrukce, ktera nema opodstatneni v axiomech matematiky. Zkus opodstatnit a vysvetlit (matematicky korektne), proc by mel platit "vztah" (*).

Zdravim "habendorfa" i tebe.

Vysvetlit, proc to tak byt nemuze, je (pokud to chci provest do dusledku) tak na 100-strankovy clanek o relanych cislech. Zjednodusene receno, duvod je jediny: pokud bych provadel takoveto uvahy v matematice, pak bych dospel vzdy ke spornym tvrzenim, popr. k vyrazum, ktere nejsou definovany a tak bych se zbavil te nadherne skutecnosti, pracovat s pravdivymi matematickymi vyroky.

Vyse uvadis pojem vzorec. Uz jen samotne uziti slova vzorec je do jiste miry nespravne. Je zapotrebi uvazit, ze ne vsechny vzorce plati za vsech okolnosti. Uvedu priklady ...
* neplati napriklad
                      log(x)+log(y)=log(x*y)
   pro vsechna realna cisla. Podminkou totiz je, ze musi existovat a mit smysl vsechny vyrazy vystupujici jak na prave strane identity, tak na jeji leve strane. Jsou-li x a y dve realna cisla a existuje-li vyraz log(x*y), pak to jiste neznamena, ze existuji i vyrazy log(x) a log(y) a ze plati vyse uvedena funkcionalni rovnice pro logaritmus realnych cisel (staci zvolit napriklad x=y=-1 pak x*y=1>0). Problem se resi tak, ze se pozaduje aby cisla x a y byla kladna.

Jinymi slovy, je treba ke kazdemu vzorci take uvest podminky, za kterych plati. Podobne je tomu i u vzorce

a^(x-y)=a^(x)*a^(-y)=a^(x)/a^(y).

Budou-li a, x a y realna cisla, pak tento vzorec je pravdivy pouze za podminky a > 0. Proc to musi byt takto najdes napriklad v knihach

Jarnik, V. Diferencialni pocet I., NČSAV, Praha 1955,
Šalát, T. Reálné čísla. Alfa 1982

nebo jinych knihach, ktere dobre vysvetluji pojmy a vety tykajici se realnych cisel. Predpoklady o cisle a se daji sice zobecnit i na zaporna cisla nebo nulu, ale naopak se musi zeslabit predpoklady pro cisla x a y. Nicmene podobne jako i v pripade funkcionalni rovnice u logaritmu je nutno pozadovat, aby existovaly vyrazy na obou stranach identit. I kdybych predpokladal, ze vyraz 0^(-1) ma smysl a existuje realne cislo t takove, ze plati rovnice

0^(-1) = t,

pak jiste nema smysl vyraz (napriklad) 0^(3)/0^(4), nebot 0^(4) je rovno realnemu cislu 0 a deleni nulou, jak dobre znamo, neni v matematice definovano (i to ma svoje opodstatneni, proc tomu tak je). Neni proto spravne pouzit identity a^(x-y)=a^(x)/a^(y) pro a=0.

Jine vzsvetleni muze pak byt spise algebraickeho charakteru. Uvazis-li teleso realnych cisel (R,+,*), pak prvek a^(-1) se nazyva prvek inverzni k prvku a, pricemz se predpoklada, ze prvek a je ruzny od nuly. Proto nemuze mit smysl uvaha pro vyraz 0^(-1). Pojem inverzniho prvku pak dale souvisi predevsim s pojmem neutralniho prvku binarni operace (v nasem pripade se jedna o nasobeni, tedy operaci *). Uvazim-li prvek a a k nemu inverzni prvek a^(-1), pak plati a*a^(-1)=e, kde e je onen neutralni prvek binarni operace * (v tomto pripade je to cislo 1, ktere je ruzne od nuly). Sporem predpokladejme, ze vyraz 0^(-1) ma smysl a rovna se (jak jsme uz vyse oznacili) realnemu cislu t. Pak plati

e = 1 = 0*0^(-1) = 0*t = 0.

Odtud mas snadno spor 0 = 1. Tedy predpoklad o tom, ze vyraz 0^(-1) je realnym cislem nemuze byt spravny.


Snad je trochu zrejmejsi, jak se vec ma. Je to vsak komplikovanejsi a je zapotrebi sahnout az na samotnou definice struktury realnych cisel s operacemi + a * (oznacuje se to (R,+,*)). Ze samotna teorie realnych cisel neni snadna svedci snad i fakt, ze korektne se realna cisla podarilo zavest az v 19. stoleti. Stoji za tim panove Rudolf Dedekind a Georg Cantor (oba Nemecko), kteri nezavisle na sobe vypracovali teorii realnych cisel. Obe teorie stoji za to nastudovat. Dedekindova teorie je vylozena napr. v Jarnikove knize Diferencialni pocet I. a pracuje s tzv. rezy v telese racionalnich cisel (Q,+,*). Jedna se spise o algebraickou teorii. Zcela ekvivalentni je teto teorii teorie G. Cantora, ktery buduje teorii telesa realnych cisel pomoci tzv. fundamentalnich posloupnosti prvku telesa (Q,+,*). Pristup je spise analyticky, pro me zajimavejsi. Obe teorie se nachazeji ve vynikajici knize od Tibora Šaláta, Realne cisla (slovensky). Navic je uveden jeste jeden pristup zavedeni realnych cisel v teto monografii, a sice pomoci tzv. filtru.

Bylo by pravdepodobne lepsi uvest konkretni exponencialni rovnici, popr. upresnit o jaky problem pri jejich reseni se jedna. Navic by jsi mohl zalozit novy dotaz s nejakym charakteristickym nazvem a netahat to k diskuzi o nedefinovanem vyrazu 0^(-1). I kdyz ono to tema zde zasahuje castecne i do teorie resitelnosti exponencialnich rovnic. Milerad ti pomohu, urcite i dalsi, ale upresni dotaz. Tak to bude nejefektivnejsi. V opacnem pripade muzes napriklad navstivit knihovnu (nekdy neefektivni).

Diky za pochopeni.

Marian