Matematické Fórum

Pr krátký úvod. Tenzor je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Pokud mám vektorový prostor nějaké spočetné dimenze a můžu jej popsat pomocí souřadnic, pak lze tenzor iterpretovat pomocí matice.

Takže dále budeme s tenzorem pracovat jako s maticí. Pokud je tenzor druhého řádu (vektor zobrazí na vektor), tak je reprezentován prostou čtvrcovou maticí. V takovém případě zúžit tenzor znamená sečíst prvky na hlavní diagonále reprezentující matice (nezávisle na volených souřadnicích to musí vyjít stejně).

Tenzory mohou být i vyššího řádu (například kartézkému součinu dvou vektorů přiřadí vektor - to je tenzor třetího řádu). Když mám tenzory vyšších řádů, tak se můžu na jednotlivé členy jeho matice odkázat počtem indexů odpovídající řádu tenzoru. Tenzor druhého řádu má dva indexy



i .. řáskový index
j .. sloupcový index

To úžení tohoto tenzoru (jak jsem již vysvětlil, že jde o počítání stopy) se provádí sumou



kde n je dimenze prostoru (může být i nekonečná). U tenzorů vyšších než druhého řádu musí být vždy dáno, přes které indexy úžíme. A provádí se takto



Toto jsem zůžil tenzor čtvrtého řádu na tenzor druhého řádu přes první a třetí index.

Toto všechono platí tehdy, kdy je uvažovaný vektorový prostor, kde se pohybujeme, lineární a kde je skalární součin definován jako



(po editaci)

A tedy konkrétní příklad může být toto. Je tenzor, který vektoru přiřadí vektor otočený u úhel a třeba kolem osy z. Jeho matice pak bude vypadat takto

cos a   sin a    0
-sin a   cos a   0
   0        0       1

Omlouvám se, že jsem líný techat matice :-). Zůžím-li tento tenzor, tak získám číslo



(po druhé editaci) -> měl jsem chybu v tom příkladu. Již opraveno