Matematické Fórum

Ahoj, potřebuji prošetřit vlastnosti této teorie:


což je teorie netriviálních divizibilních abelovských grup bez torze rozšířená o spočetně konstantních symbolů.
v aditivním jazyce teorie grup rozšířeném o spočetně konstantních symbolů

Axiomy této teorie jsou:
asociativita
komutativita
neutrální prvek
inverzní operace
(pro m>0) beztorznost (mx značí x+x+x+... m-krát)
netrivialita
divizibilita
rozšiřující axiom pro konstantní symboly


A teď otázky k této teorii:

a) Má T eliminaci kvantifikátorů?
b) Je T modelově kompletní?
c) Popište všechny (až na izomorfismus) spočetné modely T. Speciálně zjistěte I(w, T)
d) Zjistěte izomorfní spektrum a spektrum modelů pro T
e) Najděte všechny jednoduché kompletní extenze T. Speciálně zjistěte, jestli je T kompletní.
f) Je T rozhodnutelná?
g) Má T prvomodel (algebraický prvomodel)?
h) Je T otevřeně axiomatizovatelná?


Uff... no je to docela hluboká teorie, takže kdyby se našel nějaký vědátor, tak bych byl moc vděčný. Pokud by nějaké pojmy nebyly jasné, tak definice doplním.



Sám jsem zatím dospěl k tomu, že:

d) Tady na první pohled vidím, že teorie nemá konečné modely, protože by u nich nemohl platit poslední axiom, ale jak je to s nekonečnými modely nevím.

e) Kompletní není, protože třeba formule g_1 + g_2 = g_3 se nedá dokázat ani vyvrátit.
Bez toho rozšíření o spočetně konstant by teorie kompletní byla, takže ta volnost je asi jen ve vzájemných vztazích konstant, jak ale doplnit všechny kompletní extenze - nevím.

h) Otevřeně axiomatizovatelná není. To se dá dokázat pomocí věty, že podstruktura modelu O.A. teorie je taky modelem této teorie. Když si vezmeme jako model Reálná čísla a jako g_i mocniny pí, tak podstruktura celočíselných polynomů mocnin pí modelem T není.

U ostatních bodů nevím čeho se chytnout...

Mockrát děkuji za jakékoliv rady, názory, nápady!