Matematické Fórum

Maggie · 11. 08. 2010 16:07

Zdravím po dlouhé době všechny místní zapálené matematiky. Obracím se na vás tentokrát s jedním příkladem, na který nemohu ani za nic přijít, jak se řeší. přitom to bude určitě poměrně jednoduché. Proto vás prosím, jestli byste mě mohli někdo "nakopnout" :o)
$\lim_{n \to \infty }\frac{2^{2n}-3^{n+3}}{3^{n}-2^{2n-3}}$

Wolfram Alpha tvrdí, že je to -8. Mně se to nepovedlo nijak rozumně upravit, abych to v tom našla.

Díky předem za jakoukoliv radu

jelena · 11. 08. 2010 16:37

↑ Maggie:

Zdravím,

stačí tak na úvod:

$\frac{8(4^{n}-27\cdot3^{n})}{8\cdot 3^{n}-4^{n}}=-\frac{8(4^{n}-27\cdot3^{n})}{4^{n}-8\cdot 3^{n}}=-\frac{8(4^{n}-8\cdot3^{n}-19\cdot3^{n})}{4^{n}-8\cdot 3^{n}}$ ?

snad (neb se zapalenosti pro matematiku zas tak moc společného nemám, tedy vůběc nic).

Olin · 12. 08. 2010 11:25

Zdravím,

osobně bych jako návodnější viděl úpravu

$\frac{2^{2n}-3^{n+3}}{3^{n}-2^{2n-3}} = \frac{4^n - 27 \cdot 3^n}{3^n - \frac 18 \cdot 4^n} = \frac{1 - 27 \cdot $ \frac 34 $^n}{$ \frac 34 $^n - \frac 18}$

(ve druhém kroku se čitatel i jmenovatel podělil výrazem $4^n$ ).

Maggie · 12. 08. 2010 11:28

↑ jelena:

Děkuji za reakci. Takže jestli to správně chápu, tenhle typ limit se dá vyřešit pouze vhodnou úpravou. Není žádný jiný trik?.

Snažila jsem se to dovést ještě dál, ale nic mi z toho stejně nevylézá, leda když použiju tip, co jsem dostala od spolužačky, že rozhoduje nejvyšší základ.

Pak by to vycházelo, že vypíšu jen nejvyšší základ:

$\frac{-8*4^{^n}}{4^{n}}=-8$

Lze takto "ignorovat" ostatní členy?

Díky moc

(a i když tedy nejsi zapálená pro matematiku, určitě jsi v ní moc dobrá, mělo to být spíše vyjádření obdivu k těm, kteří se v tom tak vyznají a ještě jsou ochotni pomoct takovým neznalcům, jako jsem já :o)

Maggie · 12. 08. 2010 11:48

↑ Olin:

Také moc děkuji za reakci, chvilku mi trvalo, než mi došlo, že (3/4)^n se bude blížit nule. Pak už je to jednoduché. Já jsem se pořád chtěla mermomocí nějak zbavit toho ^n, nějak to vytknout, pokrátit. Nevím proč, vždyť tohle je tak elegantní.

jelena · 12. 08. 2010 11:48

Závěr úpravy jsem si představovala tak:

$\frac{8(4^{n}-27\cdot3^{n})}{8\cdot 3^{n}-4^{n}}=-\frac{8(4^{n}-27\cdot3^{n})}{4^{n}-8\cdot 3^{n}}=-\frac{8(4^{n}-8\cdot3^{n}-19\cdot3^{n})}{4^{n}-8\cdot 3^{n}}=-8$1-\frac{19\cdot3^{n}}{4^{n}-8\cdot 3^{n}}$=-8$1-\frac{19\cdot\(\frac{3}{4}$^{n}}{1-8\cdot $\frac34$^{n}}\)$

Doporučení od kolegy Olina (děkuji) je rozhodně lepší a postup je na méně operací (a navíc je pro matematiku zapalený, jak dokazuje :-)

Maggie · 12. 08. 2010 11:52

OK, takže obecný tip je vlastně dostat pod ^n zlomek s čitatelem menším než jmenovatel.

(ten tip o největším základu dal spolužačce přímo náš vyučující, takže by taky měl fungovat a je asi nejrychlejší, ale teď už aspoň vím, čeho se mám snažit docílit.)

Díky

Matematické Fórum

#1 11. 08. 2010 16:07

Limita posloupnosti

#2 11. 08. 2010 16:37

Re: Limita posloupnosti

#3 12. 08. 2010 11:25

Re: Limita posloupnosti

#4 12. 08. 2010 11:28

Re: Limita posloupnosti

#5 12. 08. 2010 11:48

Re: Limita posloupnosti

#6 12. 08. 2010 11:48

Re: Limita posloupnosti

#7 12. 08. 2010 11:52

Re: Limita posloupnosti

Zápatí