Matematické Fórum

Konstrukce reálných čísel z racionálních :

Vojtěch Jarník: Diferenciální pořet I.  (Dedekindova metoda řezů),

kde jsou uvedeny i další odkazy.

Pokud se nepletu, tak Cantorova metoda by měla být vyložena v publikaci Eduard Čech : Bodové množiny,
konstrukce  "přirozená čísla ---> celá čísla ----> racionální čísla" v publikaci Vladimír Kořínek: Základy algebry.


Myšlenka konstrukce celých čísel čísel z přirozených je velmi jednoduchá:

Nechť  N = {0, 1, 2, ... } ,  M = NxN  (kartéský součin) . 
Na M zavedeme relaci  F  předpisem [a,b] F [x,y]   právě když a + y = b + x.  Není těžké ukázat, že relace F je ekvivalence.
Prvky možiny Z = M/F  (tj. rozkladové třídy množiny M podle ekvivalence F) prohlásíme za celá čísla a na ně rozšíříme dosavadní operace
a usořádání z čísel přirozených. Označíme-li  [a,b]* rozkladovou třídu obsahující usp. dvojici [a,b], definujeme

[a,b]* + [x,y]*  =  [a+x, b+y]* ,    [a,b]* . [x,y]*  =  [ax + by, bx + ay]* ,   

[a,b]* > [x,y]*  právě když  a+y  >  b+x.

Snad jsem to nepopletl :-) .

Je třeba ukázat korektnost těchto definic, tj. že nejsou závislé na tom, kterou usp. dvojici [m,n]  vezmeme jako representanta třídy  [a,b]* .
Při tom zobrazení  G(x) = [x, 0]*  je vnořením (respektujícím operace a uspoořádání) čísel přirozených.


Poznámky.  1) Ta usp. dvojice [a,b] z množiny M  je vlastně základem budoucího rozdílu  [a, 0]*  - [b, 0]*.

2) Toto je obecná metoda, jak sestrojit "obalovou" grupu dané pologrupy (s termínem obalová grupa si nejsem jist, proto uvozovky),
konstrukce racionálnchí čísel z celých je obdobná.