Matematické Fórum

makry · 04. 01. 2010 13:25

ahoj! Potřebovala bych od nějaké hodné duše zkontrolovat příklady číselných řad, u kterých se měla určit konvergence a divergence.

Tady je první z nich:
suma {n=1} {oo} (√(n+3)) / n * √n ~ suma {n=1} {oo} (n ^1/2)/n*n^1/2 = suma {n=1} {oo} n^1/2-3/2 = suma {n=1} {oo} n^-1 = suma {n=1} {oo} 1/n - diverguje

suma {n=1} {oo} (√(n+3)) / n * √n - diverguje

makry · 04. 01. 2010 13:30

Druhý příklad je:

suma {n=4} {oo} tan (4/ n * √n) ~ suma {n=4} {oo} 4/n*√n = 4 suma 1/n*√n = 4 suma 1/n^3/2 - diverguje

suma {n=4} {oo} tan (4/ n * √n) - diverguje

makry · 04. 01. 2010 13:43

Třetí příklad je :

suma {n=2} {oo} ((-1)^n+7) / n - ln(n) = suma {n=2} {oo} (-1)^n+1 * ((-1)^6) /n - ln(n) = suma {n=2} {oo} (-1)^n+1 * 1/n-ln(n)

lim 1/n-ln(n) = 0

suma {n=2} {oo} ((-1)^n+7) / n - ln(n) - neroustoucí, kladná - konverguje absolutně

Petuhik · 04. 01. 2010 13:50

Čtvrtý příklad je:

suma {n=1} {oo} (-5)^(n+1)/ n*6^n = suma {n=1} {oo} (-1)^(n+1) * ( 5^(n+1)/ n*6^n )

lim 5^(n+1)/ n*6^n = 0

suma {n=1} {oo} 5^(n+1)/ n*6^n = suma {n=1} {oo} ((5^(n) * 5) / (n*6^n)) < suma {n=1} {oo} 5^(n) / 6^(n) =

= suma {n=1} {oo} (5/6)^(n)

lim n√ ((5/6)^(n)) = 5/6 < 1 → suma {n=1} {oo} (-5)^(n+1)/ n*6^n konverguje absolutně.

Olin · 04. 01. 2010 14:38

První ok. Jen by to možná chtělo trochu popsat, co znamená ta vlnovka.

Druhá - trochu nejasný zápis, který je správně?
$\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{tg} $ \frac{4}{n \sqrt{n}} $$ - konverguje
$\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{tg} $ \frac{4}{n} \sqrt{n} $$ - diverguje

Třetí - opět nejasné, ten logaritmus je asi taky ve jmenovateli, že?
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+7}{n-\ln{n}}$ - diverguje

Čtvrté ok.

makry · 04. 01. 2010 15:07 — Editoval makry (04. 01. 2010 15:09)

Děkuji moc za zkontrolování !!

Omlouvám se za ty zápisy, dělá mi to trochu problém.

Takže ten druhý příklad by měl být tak jak

suma {n=4} {oo} tan 4/( n * √n) ~ suma {n=4} {oo} 4/(n*√n) = 4 suma 1/(n*√n) = 4 suma 1/n^3/2 - diverguje

suma {n=4} {oo} tan 4/ (n * √n) - diverguje

Tím pádem tak jak to máš ty v tu první možnost, akorát místo n = 1 má být n = 4 a nemá tam být ta závorka

Ten třetí příklad by měl být takto:
suma {n=2} {oo} ((-1)^(n+7)) /( n - ln(n)) = suma {n=2} {oo} ((-1)^(n+1)) * ((-1)^6) /(n - ln(n)) = suma {n=2} {oo} ((-1)^(n+1)) * 1/(n-ln(n))

lim 1/(n-ln(n)) = 0

suma {n=2} {oo} ((-1)^(n+7)) / (n - ln(n)) - neroustoucí, kladná - konverguje absolutně

Doufám že teď už to je správné. Fakt se omlouvám za chyby v tom zápise.

Olin · 04. 01. 2010 15:23

Nemusíš se nějak moc omlouvat, stačí, když si zapamatuješ, že je třeba dělat závorky.

K druhému - $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ přece konverguje, ne? 3/2 > 1.

U třetího - myslím, že s absolutní konvergencí nemáš pravdu - totiž řada $\sum \frac{1}{n - \ln n}$ diverguje, protože $\frac 1n \leq \frac{1}{n - \ln n}$ .

Samotná $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n - \ln n}$ pak konverguje, ale trochu nechápu, které kritérium na to používáš. Můžeš to prosím uvést?

makry · 04. 01. 2010 16:20

u toho třetího příkladu jsem použila leibnizova kr. ( pro alternující řadu), je možný opravdu že to mám špatně..v tomto si vůbec nejsem totiž jistá

a u toho druhého máš pravdu to jsem se přehlídla. a konverguje to i absolutně?

Olin · 04. 01. 2010 16:27

Druhé konverguje i absolutně, protože tangens je na pravém okolí nuly kladný.

Nevím přesně, jaké jsou u vás požadavky, u nás by se asi v písemce chtělo i dokázat, že $\frac{1}{n-\ln n}$ je opravdu kladné a nerostoucí.

makry · 04. 01. 2010 16:36 — Editoval makry (04. 01. 2010 16:38)

No já fakt nevím s tím příkladem jak by to fakt mělo být teda :-( a ty by jsi to řešil jak?

a jinak děkuji za zkontrolování a pomoc s těmi příklady!
a ještě bych se chtěla zeptat, jestli by jsi byl ochoten mi pomoci s dalšími příklady (u funkčních řad se má určit obor kovergence a pak zda konverguje stejnoměrně.)?

Olin · 04. 01. 2010 16:40 — Editoval Olin (04. 01. 2010 18:50)

Taky přes Leibnize, ale asi bych to i dokázal.

EDIT: Ochoten bych možná byl, žel stejnoměrnou konvergenci nemám v krvi (teoreticky vím, o co jde, ale nikdy jsem s tím nepracoval).

Petuhik

ahoj, nevíte někdo nějaký dobrý odkaz na nekonečné řády?? Děkuji moc

jelena · 21. 08. 2010 23:32

↑ Petuhik:

víme (případně se poptat přímo autorského týmu).

Zdravím a označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2010 13:25

kon/div číselných řad

#2 04. 01. 2010 13:30

Re: kon/div číselných řad

#3 04. 01. 2010 13:43

Re: kon/div číselných řad

#4 04. 01. 2010 13:50

Re: kon/div číselných řad

#5 04. 01. 2010 14:38

Re: kon/div číselných řad

#6 04. 01. 2010 15:07 — Editoval makry (04. 01. 2010 15:09)

Re: kon/div číselných řad

#7 04. 01. 2010 15:23

Re: kon/div číselných řad

#8 04. 01. 2010 16:20

Re: kon/div číselných řad

#9 04. 01. 2010 16:27

Re: kon/div číselných řad

#10 04. 01. 2010 16:36 — Editoval makry (04. 01. 2010 16:38)

Re: kon/div číselných řad

#11 04. 01. 2010 16:40 — Editoval Olin (04. 01. 2010 18:50)

Re: kon/div číselných řad

#12 07. 01. 2010 18:32 — Editoval Petuhik (07. 01. 2010 18:37)

Re: kon/div číselných řad

#13 21. 08. 2010 23:32

Re: kon/div číselných řad

Zápatí