Matematické Fórum

Asinkan

Uveďte příklad funkce $u$ pro kterou platí:

$u\in L^2(0,1)$ a $u^2\notin L^2(0,1)$

pro připmenutí $L^2(0,1)$ značí množinu funkcí (lineární prostor ) jejichž Lebesqueův integrál $\int_0^1 |u(t)|^2 dt$ je konečný. Patrně by funkce $u$ mohla být i komplexní.

Děkuji

Rumburak

Co třeba $u(x) \,:= x^{-\frac{1}{4}}$ ?

Funkci, která by řešila úlohu a byla by při tom na uz. intervalu [0, 1] spojitá, bys ale hledal marně.

EDIT : $L^2(0,1)$ znamená prostor funkcí, pro něž jsou konečné OBA L-integrály

$A\,:=\int_0^1 u(t) dt$ , $B\,:=\int_0^1 |u(t)|^2 dt$ .

Jestliže B je konečný a A existuje, pak pomocí tuším že SCB nerovnosti lze ukázat (neboť integrujeme přes množinu konečné míry),
že také A má konečnou hodnotu. Nicméně aspoň existenci integrálu A je nutno předpokládat - z existence ani konečnosti integrálu B
existence A nevyplývá.

Příklad: Budiž M Lebesguevsky neměřitelná podmnožina intervalu [0, 1] , $c_{\small M}$ její charakteristická funkce, $u\, := 2c_{\small M} \,-\, 1$ .
$\int_0^1 u(t) dt$ zřejmě neexistuje, zatímco na [0, 1] je $|u| \eq 1$ , takže $\int_0^1 |u(t)|^2 dt = 1$ .

EDIT 2: Předopklad na konečnost integrálu A je příliš silný, je nutno nahradit ho předpokledem funkce u je měřitelná na intervalu (0, 1) .

Viz též ↑ BrozekP:, ↑ Rumburak:

Asinkan · 22. 08. 2010 13:44

↑ Rumburak:
JJ máš pravdu, to bude ono. Dík

Pavel Brožek · 22. 08. 2010 13:59

↑ Rumburak:

Skutečně je v definici $L^2(a,b)$ konečnost integrálu A? Co si pamatuji (a wikipedie zdá se souhlasí), tak $u\in L^p(a,b)$ pokud je $u$ měřitelná a $\int_a^b|u|^p\textrm{d}\mu<\infty$ . Podle této definice by např. $\frac1x\in L^2(1,\infty)$ , podle tvé ale integrál A není konečný, tedy $\frac1x\not\in L^2(1,\infty)$ .

Rumburak · 23. 08. 2010 10:01

↑ BrozekP:
Já to mám v povědomí s podmínkami na konečnost obou integrálů, rovněž i název "funkce integrovatelné s p-tou mocninou" chápu jako
speciální případy funkcí integrovatelných.

Ale jak jsem teď zjistil například i zde http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/~ttel/kapitola3.pdf , podmínka na konečnost integrálu A opravdu nebývá uváděna.

Pro "moje" pojetí prostoru L2 jsem zatím našel oporu v Rektorysově Přehledu užité matematiky kap. 16. 1. Ale příležitostně se podívám i do
další literatury, kterou ale momentálně nemám po ruce.

Rumburak · 24. 08. 2010 09:04

↑ BrozekP:
Náhledem do několika pramenů, zejména Fučík, John, Kufner: Prostory funkcí I, ale i dvou dalších, jsem zjistil, že Tvoje stanovisko
je v souladu s těmito zdroji, zatímco přítup prof. Rektoryse (jímž jsem byl nejspíše ovlivněn) je zřejmě ojedinělý. Díky za informaci.

Pavel Brožek · 24. 08. 2010 10:11

↑ Rumburak:

Já také děkuji za informaci.

Matematické Fórum

#1 20. 08. 2010 13:43 — Editoval Asinkan (22. 08. 2010 13:34)

Funkcionální analýza

#2 20. 08. 2010 14:35 — Editoval Rumburak (24. 08. 2010 09:10)

Re: Funkcionální analýza

#3 22. 08. 2010 13:44

Re: Funkcionální analýza

#4 22. 08. 2010 13:59

Re: Funkcionální analýza

#5 23. 08. 2010 10:01

Re: Funkcionální analýza

#6 24. 08. 2010 09:04

Re: Funkcionální analýza

#7 24. 08. 2010 10:11

Re: Funkcionální analýza

Zápatí