Matematické Fórum

Asinkan

V kterém z prostorů $S,C,S_0,l^p \ p\geq 1$ lze definovat sklární součin a jak?

Prostor $S$ je prostor rychle klesajících posloupností, tedy $S=\{u: \lim_{n \to \infty} n^k u_n=0 \text{ pro vsechny } k=1,2,... \}$

Prostor $C$ je prostor konvergentních posloupností, tedy $C=\{u: \text{ existuje konecna limita } \lim_{n \to \infty} u_n\}$

Prostor $S_0$ je prostor finitních posloupností, tedy $S_0=\{u: u_n \neq 0 \text{ jen pro konecny pocet indexu n\}$

Prostor $l^p$ je prostor $l^p$ posloupností, tedy $l^p=\{u: \sum_{k=1}^\infty |u_n|^p < \infty, \ 1\leq p < \infty\}$

Zkuste prosím podumat, eventuelně mi okomentujte moje domnělé řešení.

ŘEŠENÍ
Pozn: pro skalární součin platí: $(u,u)>0,u\neq o$ , $(u,v)=\overline{(v,u)}$ , $(\lambda u,v)=\lambda (u,v)$ a $(u+w,v)=(u,v)+(w,v)$ .

Jediný skalární součin pro posloupnosti $u$ a $v$ (mohou být i komplexní), který mě napadá je $(u,v)=\sum_{i=1}^\infty u_i \overline{v_i}$ . Tento však musí mít smysl, tedy musí být menší než nekonečno.

Řešení pro prostor $S_0$
Sečteme-li konečný počet čísel (těch součinů) dostaneme konečné číslo.

Řešení pro prostor $C$
Obecně zde takovýto součin zavést nemůžeme, jelikož pokud bude konečná limita různá od nuly, jak pro $u_n$ tak pro $v_n$ , pak takto zavedený skalární součin nebude konvergovat. Např posloupnosti $u=3+1/n$ $v=2+1/n$ .

Řešení pro prostor $l^p$
K tomu jsem našel jen důkaz pro p=2, který vychází z $|u_n v_n|=|u_n||v_n|\leq \frac{1}{2}(|u_n|^2+|v_n|)^2$ pokud to "zesumím" vyjde $\sum |u_n v_n|\leq \frac{1}{2}(\sum|u_n|^2+\sum|v_n|^2)$ tedy konverguje to dokonce absolutně. Ale nevím, jak to narazit na obecné p>2.

Řešení pro prostor $S$
Aby členy $u_n\in S$ limitovaly k nule musí "přebít" tu mocninou funkci $n^k$ , tedy členy $u_n$ musí klesat minimálně exponenciální rychlostí. Tedy třeba posloupnosti $u_n=\frac{1}{1.1^n}$ a $v_n= \frac{2}{1.01^n}$ do tohoto prostoru patří. Teď budu ale muset nějak dokázat, že součin takovýchto funkcí je konvergentní řada. Zkusím si vzpomenout na kritéria konvergence-momentálně si nevzpomínám, které použít.

Pokud vás napadají jiné skalární součiny, nebo se vám nelíbí mé formulace (obzvláště posledního řešení) pak mě prosím opravte. Děkuji za váš čas

lukaszh · 24. 08. 2010 20:28

↑ Asinkan:

V týchto veciach sa veľmi nevyznám, očakával som, že stihne niekto odpovedať. Budem teda "eventuelně komentovat tvé řešení" :-) Neviem, akým spôsobom definujeme skalárne súčiny na priestoroch postupností. Pokiaľ ide teda o formu

$(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}x_n\cdot\overline{y}_n$

pre $x_n,y_n\in\mathbb{C}$ . Potom treba poukazovať, resp. nájsť protipríklady pre uvedené typy postupností. Pre priestory $S_0$ a $C$ to je podľa uvedenej formy zrejme správne. Mám pochybnosti, či sa vôbec pre nejaký prípad $\ell^p$ priestorov okrem p = 2 dá zaviesť uvedený skalárny súčin. Uvažujme dve postupnosti $x,y\in\ell^p$ . Definujme ich predpisy

$x_n=\frac{1}{n^{1/p+\mu}}\nly_n=\frac{1}{n^{1/p+\eta}}$

kde $\mu,\eta\,>\,0$ sú "malé" (Marian ma zabije). Tieto postupnosti zrejme patria do uvedeného priestoru, pretože (napríklad pre x)

$\sum_{n}|x_n|^p=\sum_{n}\frac{1}{n^{1+p\mu}}\,<\,\infty$

vyplýva z konvergencie Riemannovho radu. Ale

$(x,y)=\sum_{n}x_n\cdot y_n=\sum_{n}\frac{1}{n^{1/p+\mu}\cdot n^{1/p+\eta}}=\sum_{n}\frac{1}{n^{2/p+\mu+\eta}}$

nemusí konvergovať. Napríklad pre voľbu p = 3, a $\mu+\eta=0.01$ máme divergentný rad. Pre p = 2 však rad v pohode konverguje. Prípad p = 1 ešte pouvažujem (niekde som čítal, že tu to tiež nejde).

K priestoru S ešte porozmýšľam.

Stýv · 24. 08. 2010 21:13

v l^p prostorech pro p<>2 nejde zavést skalární součin, který by indukoval příslušnou l^p-normu. jestli tam nejde zavést vůbec žádný, to nevím

Pavel Brožek · 24. 08. 2010 22:01

↑ lukaszh:

Řekl bych, že podle zadání máme nalézt nějaký skalární součin, případně ukázat, že se na daném prostoru žádný definovat nedá. $(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}x_n\cdot\overline{y}_n$ je běžný skalární součin, který řeší případ $S$ a $S_0$ .

↑ Asinkan:

Aby členy $u_n\in S$ limitovaly k nule musí "přebít" tu mocninou funkci $n^k$ , tedy členy $u_n$ musí klesat minimálně exponenciální rychlostí.

To plyne z čeho? Já bych řekl, že musí klesat rychleji než polynomiálně, ne nutně exponenciálně.

Snad nekecám, když řeknu, že pro $C$ a $l^p$ můžeme definovat skalární součin

$(u,v)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{u_n\bar{v_n}}{n^2}$ .

lukaszh · 24. 08. 2010 22:55

↑ Stýv: ↑ BrozekP:

Vďaka za doplnenie. Keď teda treba zaviesť nejaký, tak takých môže byť skutočne mnoho. Neviem si síce predstaviť, ako by sa dokazoval opak, teda neexistencia akéhokoľvek. Na to som už prikrátky.

Pavel Brožek · 24. 08. 2010 23:30

↑ lukaszh:

Taky nevím, jak bych dokazoval neexistenci. Přemýšlel jsem o prostoru všech reálných (komplexních) posloupností. Tam jsem žádný skalární součin nenašel a nenapadá mě, jak jeho existenci vyvrátit.

Rumburak

↑ Asinkan:, ↑ lukaszh:, ↑ Stýv:, ↑ BrozekP:

Domnvám se, že přinejmenším na každém reálném lin. prostoru lze definovat skalární součin, pokud na něj neklademe už žádné další požadavky.

Nechť X je tedy lin. prostor nad tělesem reál. čísel a B jeho pevně zvolená báze, kterou pevně vyjádříme ve tvaru $B = \{\,b_\alpha\, ; \,\alpha \in \kappa\,\}$ ,
kde $\kappa$ je vhodné a jenoznačně určené kardinální číslo - mohutnost množiny B . (Vektor $b_\alpha$ je při tom jednoznačně určen ordinálním číslem $\alpha$ .)

Ke každému $x \,\in\, X$ existuje právě jedna reálná funkce $f_{\small x}: \,\kappa \to \mathbb R$ s konečným nosičem $K_{\small x} \subseteq \kappa$ taková, že $x = \sum_{\alpha \in K_{\small x}} f_{\small x}(\alpha)\,b_{\alpha}$
(obecná vlastnost báze). Zobrazení $x \mapsto f_{\small x}$ je při tom lineární.

Domnívám se, že předpisem $Q(x, y) \, := \,\,\sum_{\small{\alpha \in K_{\small x} \cup K_{\small y}}}\,\, f_{\small x}(\alpha)\,f_{\small y}(\alpha)$ , $x, y \in X$ , je definována symetrická pozitivně definitní
bilineární forma, kterou můžeme nazvat skalárním součinem.

Na podrobný důkaz a na řešení téže otázky pro komplexní lin. prostor si takto po ránu netroufám, pokusím se případně pokračovat později.

EDIT 1. Pro komplexní lin. prostor je $f_{\small x}: \,\kappa \to \mathbb C$ a pak by se definovalo $Q(x, y) \, := \,\,\sum_{\small{\alpha \in K_{\small x} \cup K_{\small y}}}\,\, f_{\small x}(\alpha)\,\overline{f_{\small y}(\alpha)}$ .

EDIT 2. Využili jsme větu, že každý lin. prostor má bázi, která se dokazuje pomocí axiomu výběru.

POZNáMKA 2. Jen připomínám, že k tomu, aby na reálném lin. prostoru s danou normou ||...|| existoval skalární součin, který tuto normu generuje,
je nutné a stačí, aby tato norma identicky splňovala tzv. rovnoběžníkové pravidlo $||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2||x||^2 + 2||y||^2$ .
Potom hledaným skalárním součinem bude bilineární forma
$F(x,y) \,:= \frac{1}{2}$||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2$$ nebo ekvivelentně $F(x,y) \,:= \frac{1}{2}$||x + y||^2 -||x||^2 -||y||^2 $$ .

EDIT 3. Že jde vskutku o bilineární formu, není ovšem na první pohled zřejmé, nicméně lze dokázat, že tomu tak je (pokud platí zmíněné RP).

Jak je tomu u komplexních prostorů nemám rozmyšleno (náš přednášející na funkcionální analýzu jim mnoho pozornosti nevěnoval - odůvodňoval
to slovy "nemám rád malé měkké i " :-) ).

Pavel Brožek

↑ Rumburak:

S kardinálními čísly nemám téměř žádné zkušenosti, tak snad to dobře chápu. Podívejme se na příklad reálných posloupností. Všechny reálné posoupnosti tvoří vektorový prostor $X$ nad tělesem reálných čísel. Jako bázi $B=\{b_n;n\in\mathbb{N}\}$ zvolme posloupnosti s jedničkou na n-té pozici a nulami jinde ( $(b_n)_i=\delta_{in}$ ), n prochází přirozená čísla.

Nechápu pak, proč by např. pro posloupnost jedniček $x=(1,1,1,\ldots)$ měl být nosič $f_x$ konečný. Podle mě naopak bude nekonečný – bude to množina $\mathbb{N}$ .

Edit: Nebo to, co nazývám bází, není ve skutečnosti báze a správná báze by měla generovat celý prostor pouze pomocí konečných součtů vektorů z báze?

Rumburak

↑ BrozekP:
Lineárním obalem (tj. v algebraickém smyslu pomocí lin. kombinací s KONEČNÝM počtem členů) Tvojí množiny B je ovšem nikoliv prostor
VŠECH reálných posloupností, ale pouze takových, které mají jen KONEČNÝ počet nenulových členů.
Například nekonečnou posloupnost ze samých jedniček bys jako lineární kombinaci prvků konečné podmnožiny B nedostal.

PS. Ta kardinální čísla jsem tam vmontoval ve snaze o větší formální exaktnost, ale asi to nebylo úplně podstatné (šlo by to provést i jinak)
a patrně jsi to pochopil správně.

EDIT. Reakce na Tvůj EDIT: Ano, přesně tak. :-)
EDIT 2 : Možná ses setkal s pojmem Schauderova báze, což je "báze v analytickém smyslu", kdy vedle (konečných) lin. kombinací připouštíme
obecněji i součty nekonečných řad.

Pavel Brožek · 25. 08. 2010 11:58

↑ Rumburak:

Díky za odpovědi.

Přímo s pojmem Schauderova jsem se asi nesetkal. Ale běžně se takhle rozkládá v kvantovce, tak to je asi zvyk :-). Tam to ale asi je opodstatněné, tady, když se bavíme obecně, tak by ani nekonečný součet nebyl zaveden.

Rumburak · 25. 08. 2010 12:26

↑ BrozekP:
Nutným předpokledem pro Sch. bázi je, že v tom prostoru je definována topologie (např. normou) a pak se samozřejmě pracuje pouze s takovými
"spočetnými lineárními kombinacemi", které jsou konvergentními řadami. Příkladem Sch. báze je úplný ortogonální systém v Hilbertově prostoru.

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2010 21:43 — Editoval Asinkan (24. 08. 2010 19:24)

Prostory posloupností a skalární součin

#2 24. 08. 2010 20:28

Re: Prostory posloupností a skalární součin

#3 24. 08. 2010 21:13

Re: Prostory posloupností a skalární součin

#4 24. 08. 2010 22:01

Re: Prostory posloupností a skalární součin

#5 24. 08. 2010 22:55

Re: Prostory posloupností a skalární součin

#6 24. 08. 2010 23:30

Re: Prostory posloupností a skalární součin

#7 25. 08. 2010 09:26 — Editoval Rumburak (25. 08. 2010 14:41)

Re: Prostory posloupností a skalární součin

#8 25. 08. 2010 11:24 — Editoval BrozekP (25. 08. 2010 11:34)

Re: Prostory posloupností a skalární součin

#9 25. 08. 2010 11:43 — Editoval Rumburak (25. 08. 2010 11:49)

Re: Prostory posloupností a skalární součin

#10 25. 08. 2010 11:58

Re: Prostory posloupností a skalární součin

#11 25. 08. 2010 12:26

Re: Prostory posloupností a skalární součin

Zápatí