Matematické Fórum

Joker478 · 26. 08. 2010 12:20

Dobry den,
mam fundamentalni system (e^2X).cos(x/2) a (e^2x).sin(x/2) z toho vim ze koreny jsou komlexni a jsou :
2+i0,5 a 2-i0,5 vedel by nekdo jak z toho ziskam zase diferencialni rovnici ?... mohli by ste mi to rozepsat jak se to dela?

Rumburak

Čili jde o to k danému FS zrekonstruovat jeho dif. rovnici. Tuto úlohu jsem nikdy neřešil, ale zkusím to.

FS má dva prvky, takže půjde o ODR 2. řádu - nejspíše s konstantními reálnými koeficienty - zapišme ji ve tvaru $y'' + py' + qy = 0$
s neznámými konstantami p, q. Jejím charakteristickým polynomem bude $\lambda^2 + p\lambda + q$ , z tvaru funkcí (e^2X).cos(x/2) , (e^2x).sin(x/2)
tvořících FS opravdu vyplývá, že jeho kořeny budou imaginární. Vyjádřeme je v algebraickém tvaru $\lambda_{\small{1,2}} = a \pm bi$ s novými
neznámými a, b. Z teorie kvadratické rovnice víme (Vietovy vzorce), že $p = - (\lambda_{\small{1}}+\lambda_{\small{2}}) = -2a$ , $q = \lambda_{\small{1}}\cdot \lambda_{\small{2}} = a^2 + b^2$ ,
odtud dopočítáme p, q, až budeme znát a, b.

"Komplexní" FS bude tvořen funkcemi $\text{\large{e}}^{\,\lambda_{\small{1,2}}\, x} =\text{\large{e}}^{\,(a \pm bi)x}=\text{\large{e}}^{\,ax}\,\text{\large{e}}^{\,\pm bix}=\text{\large{e}}^{\,ax}\,(\cos \,bx\,\pm\,i\,\sin\,bx)$ , z něj vytvoříme "reálný" FS:

ZDE JE CHYBA: $u(x) = \text{\large{e}}^{\,\lambda_{\small{1}}\, x} \,+\, \text{\large{e}}^{\,\lambda_{\small{2}}\, x} \,=\,\text{\large{e}}^{\,ax}\,\cos \,bx$ , $v(x) = \,\frac{1}{i}\,(\text{\large{e}}^{\,\lambda_{\small{1}}\, x} \,-\, \text{\large{e}}^{\,\lambda_{\small{2}}\, x}) \,=\,\text{\large{e}}^{\,ax}\,\sin \,bx$

OPRAVA: $u(x) = \frac{1}{2}(\text{\large{e}}^{\,\lambda_{\small{1}}\, x} \,+\, \text{\large{e}}^{\,\lambda_{\small{2}}\, x}) \,=\,\text{\large{e}}^{\,ax}\,\cos \,bx$ , $v(x) = \,\frac{1}{2i}\,(\text{\large{e}}^{\,\lambda_{\small{1}}\, x} \,-\, \text{\large{e}}^{\,\lambda_{\small{2}}\, x}) \,=\,\text{\large{e}}^{\,ax}\,\sin \,bx$ .

To porovnáme se zadáním (e^2X).cos(x/2) , (e^2x).sin(x/2) a zjistíme, že $a = 2$ , $b = \frac{1}{2}$ .

Stýv · 26. 08. 2010 12:56

já bych si pro obě fce spočítal první a druhou derivaci, dosadil do tý rovnice $y'' + py' + qy = 0$ a porovnal koeficienty

Joker478 · 26. 08. 2010 13:02

ja z klasickych korenu... rovnici vyjadrit umim... jen nevim jak se to dela... kdyz jsou tam ty koreny imaginarni... s tim potrebuju poradit

jarrro · 26. 08. 2010 13:17

↑ Joker478:tak isto ako z reálnych rovnica s koreňmi $x_1$ a $x_2$ je
$\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$ korene môžu byť aj komplexné

Joker478 · 26. 08. 2010 13:34

mohl by jsi mi to pls ukazat na tomhle priklade rozepsane ?... moc by mi to pomohlo..diky

Joker478 · 26. 08. 2010 13:36

tady jsme si asi nejak neporozumeli... ja jsem chtel najit a,b,c cleny v klasicke kvadraticke rovnici...a ne a,b jako cleny v rovnici se specialni pravou stranou

Rumburak

↑ Joker478: JEDNA TECHNICKÁ:
Když máš doplňující dotaz ke konkretnímu příspěvku či osobě, která ho psala, vyplatí se v něm kliknout na hypertext "Reagovat" umístěný
v pravém dolním rohu onoho příspěvku. Pak se do levého horního rohu Tvého nového příspěvku vygeneruje hypertextový odkaz na onen příspěvek,
k němuž máš dotaz. Potom bude jasné, koho se ptáš a kdo tedy má odpovídat, má-li diskuse více účastníků. Nyní to jasné není.

Rumburak

↑ Joker478:
Já jsem to vyřešil celé včetně mezivýcledků $a = 2$ , $b = \frac{1}{2}$ , k nimž jsi dospěl i Ty. Co se s těmito mezvýsledky má dále udělat,
abychom sestavili tu DR, je v přííspěvku ↑ Rumburak: popsáno ještě před jejich numerickým výpočtem.

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2010 12:20

fundamentalni system

#2 26. 08. 2010 12:46 — Editoval Rumburak (26. 08. 2010 13:28)

Re: fundamentalni system

#3 26. 08. 2010 12:56

Re: fundamentalni system

#4 26. 08. 2010 13:02

Re: fundamentalni system

#5 26. 08. 2010 13:17

Re: fundamentalni system

#6 26. 08. 2010 13:34

Re: fundamentalni system

#7 26. 08. 2010 13:36

Re: fundamentalni system

#8 26. 08. 2010 13:51 — Editoval Rumburak (26. 08. 2010 13:52)

Re: fundamentalni system

#9 26. 08. 2010 14:01 — Editoval Rumburak (26. 08. 2010 14:05)

Re: fundamentalni system

Zápatí