Matematické Fórum

↑ Beherit:
Tvoji situaci popsanou v e-mailu respektuji,  z vlastní podobné zkušenosti ji chápu a zkusím pomoci podle svých možností.
Zároveň ale dopručuji studovat nejen vzorové příklady, které spočítal někdo jiný, ale především teorii.  Mnoho studentů to dělá přesně naopak,
místo aby se k pochopení často velmi jednoduchého principu naučili jednu stránku teorie, jsou ochotni tápat v deseti stránkách nejrůznějších
takových výpočtů a učit se jim nazpaměť - kdybych to tak měl dělat já, určitě bych zešílel a matematika by se mi stala odpornou noční můrou.

Tak třeba k té první úloze. Skalární součin vektorů A =(a,b,c),  X = (x,y,z)  je definován vzorcem A*X = ax + by + cz .  Dokazuje se, že pro úhel  fi
sevřený nenulovými vektory A, X platí vztah  cos (fi)  =  (A*X) / (|A|*|X|) , takže takové vektory A, X jsou kolmé právě když A*X =0
(cosinus pravého úhlu a jen takového je nula).  Rovnice  A*X =0 je navíc splněna i tehdy, když aspoň jeden z techto vektorů je nulový - proto i
tehdy říkáme, že vektory A, X jsou kolmé.

Nalézt všechny vektory X kolmé k vektoru A je proto totéž, jako nalézt všechna řešení rovnice A*X =0. Jsou-li vektory A, X kolmé, pak i vektory
rA, sX pro libovolná reálná r,s jsou kolmé: (rA)*(sX) = rs.A*X = rs.0 = 0.   Je-li rovněž vektor Y kolmý k vektoru A, potom také vektor X + Y je
kolmý k vektoru A: A*(X+Y) = A*X + A*Y = 0 + 0 = 0. Množina všech řešení rovnice A*X =0 (tedy množina všech vektorů kolmých k vektoru A)
je tedy podprostorem lineárního prostoru, z něhož pochází vektor A.

Toto je základ pro pochopení toho, proč ortogonální doplněk k Lin(A, B, C) - tímto symbolem  značím lineární obal vektorů A, B, C - záskáme jako
řešení soustavy rovnic A*X = 0, B*X = 0, C*X = 0.

Soustavu representovanou maticí

           1, 2, 3, 4 | 0
           1, 2, 1, 0 | 0
           0, 0, 2, 1 | 0

vyřešíme Gaussovou eliminační metodou, což je v podstatě stará známá sčítací metoda v maticovém převleku  - jen  místo s rovnicemi tvaru
ax + by + cz + dw = e   pracujeme pro zkrácení zápisiu s řádkovými vektory tvaru (a , b,  c , d | e)  tvořícími tzv. rozšířenou matici soustavy.
Sloupec ze samých nul na pravé straně můžeme pro úsporu škrtnout - z těchto nul následujícími úpravami nic jiného než opět nuly vzniknou
nemůže a proto si ten sloupec můžeme zapamatovat místo toho, abychom ho porád opisovali.  Takže pracujeme pouze s maticí

           1, 2, 3, 4
           1, 2, 1, 0
           0, 0, 2, 1 .

První řádek odečteme od druhého:
           1, 2, 3, 4
           0, 0,-2,-4
           0, 0, 2, 1
druhý řádek přičteme ke třetímu:
           1, 2, 3, 4
           0, 0,-2,-4
           0, 0, 0,-3
druhý řádek vydělíme -2  a třetí řádek  vydělíme -3 :
           1, 2, 3, 4
           0, 0, 1, 2
           0, 0, 0, 1
od druhého řádku odečteme dvojnásobek třetího:
           1, 2, 3, 4
           0, 0, 1, 0
           0, 0, 0, 1 .

Nyní si uvědomíme, že jde o soustavu rovnic
           1x + 2y + 3z + 4w = 0
           0x + 0y + 1z + 0w = 0
           0x + 0y + 0z + 1w = 0 .

Ze třetí rovnice plyne w = 0 , ze druhé z = 0.  První rovnice se tím redukuje na  x + 2y  = 0, neboli  x = -2y .

Řešením soustavy jsou tedy právě všechny vektory tvaru (-2y, y, 0, 0) , kde y je parametr probíhající množinu všech reálných čísel.
Tyto vektory tvoří v R4  podprostor, který je ortogonálním doplňkem k  Lin(u1, u2, u3).

Tu druhou úlohu už zkus začít sám - podle návodu, který již máš k disposici. Raději postupuj pomalu a s důkladným rozmyslem, než
zbrkle a s nejistotou. Případné detailní dotazy rád zodpovím (po neděli).