Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#2 27. 08. 2010 13:25 — Editoval Rumburak (27. 08. 2010 13:32)
Re: Objem simplexu
Objem simplexu (= čtyřstěnu) se nedávno řešil zde : http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=20338 .
Druhá úloha:
V rovině BCD najdeme bod X takový, aby vektor X-A byl kolmý k této rovině (tj. byl násobkem jejího normálového vektoru).
Hledanou vzdáleností pak bude hodnota |X-A| . Nutno začít sestavením rovnice roviny BCD.
Alternativně: Objem V simplexu ABCD již známe z předchozí úlohy. Tento simplex můžeme chápat jako trojboký jehlan s podstavou BCD,
jehož výška w je číslo, které hledáme. Určíme-li obsah S trojúhelníka BCD , pak výšku w vypočítáme ze vzorce V = (1/3)Sv .
Offline
#3 27. 08. 2010 13:32
Re: Objem simplexu
↑ Rumburak:
Tak ten objem pres ten diskriminant jsem spocetl, ale to s tim vektorem atd. absolutne nechapu :D Prosim o nejaky vysvetleni pro blbce :D Diky
Offline
#4 27. 08. 2010 13:47
Re: Objem simplexu
↑ Beherit:
Označme X hledaný bod. Aby ležel v rovině BCD, musí existovat reálná čísla t, s taková, že X - D = t(B-D) + s (C-D) neboli
(1) X = D + t(B-D) + s (C-D) ,
což je parametrická rovnice roviny BCD. Aby X-A byl kolmý k rovině BCD, musí být kolmý k vektorům B-D, C-D, jimiž je určeno zaměření roviny.
Takže musí být
(2) (X-A)(B-D) = 0 , (X-A)(C-D) = 0
(dva vektory jsou kolmé právě když jejich skalární součin je 0). Do rovnic (2) dosadíme z (1) za X, tím dostaneme soustavu dvou rovnic
o dvou neznámých t, s. OK ?
Offline
#5 27. 08. 2010 14:04
Re: Objem simplexu
↑ Rumburak:
ted uz to jako teoreticky chapu, ale kdyz dosadim, tak mi vychazej nejaky kraviny.. hod sem prosim postup toho dosazovani at vidim, kde jsem udelal chybu... diky (;
Offline
#6 27. 08. 2010 14:30
Re: Objem simplexu
↑ Beherit:
Vezmu rovnici (X-A)(B-D) = 0 , do které dosadím X = D + t(B-D) + s(C-D) a dostanu [D + t(B-D) + s (C-D) - A](B-D) = 0 ,
to upravím na [(D-A) + t(B-D) + s (C-D)](B-D) = 0 , po skalárním roznásobení vyjde
(D-A)(B-D) + t(B-D)(B-D) + s(C-D)(B-D) = 0 .
Skalární součiny (D-A)(B-D), (B-D)(B-D), (C-D)(B-D) vypočítám zvlášť - výsledkem budou 3 čísla. Obdobně s druhou rovnicí.
Při numerickém výpočtu může chybu udělat každý, kdyžtak sem pošli ke kontrole svůj postup.
Offline
#7 27. 08. 2010 14:52 — Editoval Beherit (27. 08. 2010 15:35)
Re: Objem simplexu
↑ Rumburak:
tak jsem tam dosadil a vyslo mi neco takovehleho
64t+32s=32
4t+14s=8
36t-18s=0
a z toho jsem spocetl s a t takze s=1/2 a t=1/4
jinak postup dosazeni
-4*8+8*8t+4*8s=0
4*(-2)+(-2)*(-2)t-7*(-2)s=0
0*(-6)+(-6)*(-6)t+3*(-6)s=0
je to tak?
Jinak objem toho simplexu mi vysel 19
Offline
#8 27. 08. 2010 16:53 — Editoval Rumburak (27. 08. 2010 16:53)
Re: Objem simplexu
↑ Beherit:
Rovnice (D-A)(B-D) + t(B-D)(B-D) + s(C-D)(B-D) = 0 mi numericky vyšla (před vykrácením) -40 + 104 t + 52 s = 0 ,
Obdobně rovnice (D-A)(C-D) + t(B-D)(C-D) + s(C-D)(C-D) = 0 -44 + 52 t + 66 s = 0 ,
což mi dalo kořeny s = 3/5 , t = 11/130, ale numerické počty mi moc nejdou :-( , tak nevím . To Tvé řešení vypadá věrohodněji.
K simplexu jsem se už nedostal.
Offline