Matematické Fórum

avalagne · 30. 08. 2010 14:49

Ahoj,
mám prosbu s jedním příkladem. Možná teda ještě pak další přibudou, ale teď mě především zajímá tento:

"Jsou dány vektory u = 3a - b , v = a + 2b , w = a - 3b , kde velikost (norma) vektoru a = 2 a b = 4. Úhel sevřený vektory a,b je 60 stupňů. Výpočtem rozhodněte, zda vektory u, v jsou kolmé a vypočtěte obsah rovnoběžníka sestrojeného z vektorů u, w."

Já umím vypočítat klasický kolmosti, úhly apod., ale tohle bohužel vůbec nevim. A rovnoběžník už vůbec ne, to jsme ani nebrali ve škole...

Díky moc za rady

Rumburak

Spočteme skalární součin
$uv = (3a - b)(a + 2b) = 3|a|^2 + 6ab - ba - 2|b|^2 = 3|a|^2 - 2|b|^2 + 5ab = 3\cdot 4 - 2\cdot 16 + 5\cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos \varphi(a,b) =$
$= -20 + 40\cdot\frac{1}{2}= 0$ ,

takže vektory u,v jsou kolmé.
Použili jsme vzorec pro úhel dvou vektorů a, b :

(1) $\cos\varphi(a,b) = \frac {ab}{|a|\cdot|b|}$ .

Obdobným způsobem spočítáme skalární součin $uw$ a normy $|u|$ , $|w|$ ( $|u| = \sqrt{uu}$ , obdobně pro $|w|$ ) .

Podle vzorce (1) vypočítáme $\cos\varphi(u,w)$ , obsah příslušného rovnoběžníka pak bude $S = |u| \cdot |w|\cdot \sin\varphi(u,w)$ ,
kde klademe $\sin\varphi(u,w) = \sqrt{1-\cos^2\varphi(u,w)}$ .

avalagne · 30. 08. 2010 16:11

↑ Rumburak:

Krásně vysvětleno... Moc děkuji.

Jen ještě u té druhé části... Konkrétně vypočítání normy "u"... Je to zase teda norma u = (3a - b) * (3a - b) a pak celé odmocním...? To samé pro "w"...

Ten vzoreček na rovnoběžník vidím fakt poprvé, díky za všechno :)

Rumburak

↑ avalagne:
Místo "u = (3a - b) * (3a - b) " jsi asi chtěl napsat $|u|^2 = u \cdot u = (3a - b) * (3a - b)$ .
Cesta k úspěchu v matematice vede přes přesný zápis formulí. :-) Jinak O.K.

EDIT. Ten vzorec pro obsah rovnoběžníka se snadno odvodí vyjádřením výšky pomocí odpovídajícího úhlu.

avalagne

↑ Rumburak:

Já jsem psal: "Konkrétně vypočítání normy "u"... Je to zase teda norma u = (3a - b) * (3a - b) a pak celé odmocním...?" Tak snad to bylo správně :) Velikost neboli norma vektoru je součin vektoru a poté odmocnina ze součinu. Koukám na ten TeX v čem to děláte... To je masakr teda :)

Rumburak · 30. 08. 2010 16:49

↑ avalagne:
Já vím, jaks to myslel a žes to myslel dobře, jenom ty zápisy "u = (3a - b) * (3a - b)" a rovněž i "norma u = (3a - b) * (3a - b)"
jsou, striktně vzato, špatně - správnější by bylo (když už máme kombinovat vzorce s volným textem) napsat
"(norma u) na druhou = (3a - b) * (3a - b)".
Neber to jako šikanování, ale pouze jako radu do budoucna. Nepřesné zápisy tohoto druhu bývají častým zdrojem chyb v následných výpočtech,
nehledě na to, že kantor opravující písemku by Ti za to nejspíš (a v tomto případě úplně zbytečně) strhnul nějaký ten bodík a to by jistě byla škoda,
když to de facto umíš. Takže nic ve zlém :-).

avalagne

↑ Rumburak:

Jasně, hlavní je, že jsem to myslel správně :) Já už se obával, že mám i špatný vzorečky v sešitě. Jinak máš naprostou pravdu v zapisování. Nemálo bodů mi vždycky utíká za chyby v zápise...

Takže myslím, že to můžu označit za vyřešené.

Díky moc za snahu :)

Rumburak · 31. 08. 2010 11:59

↑ avalagne: Reakce ne e-mail:

Kosinus $\cos\varphi(u,w)$ počítáme proto, aby se z něj mohl vypočítat sinus použítý při výpočetu obsahu rovnoběžníka.

Mně vyšlo

$ab = |a|\cdot|b|\cdot \cos\,\frac{\pi}{3} = 2\cdot 4\cdot \frac{1}{2} = 4$ ,
$uw = (3a - b)(a-3b) = 3$|a|^2+|b|^2$ \,-\, 10ab = 20$ ,

$|u|^2 = uu = (3a - b)(3a-b) = 9|a|^2 - 6ab +|b|^2 = 28=4\cdot 7$ ,

$|w|^2 = ww = (a - 3b)(a-3b) = |a|^2 - 6ab +9|b|^2 = 4\cdot 31$ ,

$\cos^2\,\varphi(u,w) = \frac {400}{4\cdot 7 \cdot 4\cdot 31} = \frac {25}{7 \cdot 31}$ ,

$\sin^2\,\varphi(u,w) = 1 -\cos^2\,\varphi(u,w) = 1 - \frac {25}{7 \cdot 31} = \frac {192}{217} =\frac{3\cdot 8^2}{7\cdot 31}$ .

Ale netvrdím, že je to bez chyby.

avalagne · 31. 08. 2010 12:07

Tak jsem ještě dostal toto řešení obsahu:

Je toto řešení správné?

Rumburak

↑ avalagne:

Idea je správná (a asi ta nejlepší), ale je tam drobná chyba: vektorový součin není komutativní, splňuje totiž a x b = - b x a .
Proto mělo vyjít u x w = -9 a x b - b x a = -9 a x b + a x b = -8 a x b a následně $S = 32\sqrt{3}$ , což vychází i u mne
(↑ Rumburak:), i když přiznávám, že krmolomněji.

Ještě drobnost: levá strana poslední rovnice měla být |a x b| .

avalagne · 31. 08. 2010 19:05

↑ Rumburak:

Tak teď už rozumím příkladu :)
Levá strana rovnice myslíš v obrázku, co jsem uploadnul že? Protože nemůže vyjít záporné číslo...

Děkuju za dodatek, moc mi to pomohlo ;)

Rumburak · 01. 09. 2010 09:12

↑ avalagne:
Ano, jde o rovnici $|\vec a \times \vec b| = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot \sin\,\alpha$ , která je takto správně, pokud buďto některý z těch vektorů je nulový nebo $\alpha \in [0,\,\pi]$
je úhel sevřený těmito vektory.

Napsat pouze $\vec a \times \vec b = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot \sin\,\alpha$ je chyba. (Znamenalo by to, že TROJROZMĚRNÝ VEKTOR vlevo se rovná REÁLNÉMU ČÍSLU vpravo,
což ale nastat nemůže, protože trojrozměrné vektory jsou již pojmově něco jiného než reálná čísla.)

avalagne · 01. 09. 2010 09:28

↑ Rumburak:

Ano, už tomu rozumím... Děkuji za vysvětlení...

Mám ještě dotaz na dopočítání jednoho příkladu... Vypočítal jsem normu vektoru u a |u x v|, ale nevim jak vypočítat úhel, který svírají... Mám založit kvůli tomu nové téma?

Rumburak · 01. 09. 2010 10:26

↑ avalagne:
Momentálně mě nenapadá, jak to řešit, snad i proto, že ani zadání úlohy mi není úplně jasné (co je dáno ? kterými vektory je sevřen hledaný úhel ?
máme zde totiž celkem 3 vektory : u, v, u x v ).
Možná pomůže informace, že vektor u x v je kolmý ke každému z vektorů u, v.

Myslím, že založení nového tématu s přesně formulovanou úlohou by nebylo na škodu, mohlo by se zapojit i více hlav (do tématu označeného
jako uzavřené možná neleze každý).

avalagne · 01. 09. 2010 10:32

↑ Rumburak:

Dobře, založím tedy nové. Děkuji

Matematické Fórum

#1 30. 08. 2010 14:49

Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#2 30. 08. 2010 15:39 — Editoval Rumburak (30. 08. 2010 15:49)

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#3 30. 08. 2010 16:11

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#4 30. 08. 2010 16:17 — Editoval Rumburak (30. 08. 2010 16:23)

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#5 30. 08. 2010 16:31 — Editoval avalagne (30. 08. 2010 16:31)

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#6 30. 08. 2010 16:49

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#7 30. 08. 2010 16:53 — Editoval avalagne (30. 08. 2010 16:54)

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#8 31. 08. 2010 11:59

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#9 31. 08. 2010 12:07

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#10 31. 08. 2010 14:07 — Editoval Rumburak (31. 08. 2010 14:56)

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#11 31. 08. 2010 19:05

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#12 01. 09. 2010 09:12

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#13 01. 09. 2010 09:28

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#14 01. 09. 2010 10:26

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

#15 01. 09. 2010 10:32

Re: Výpočet kolmosti vektorů a obsah rovnoběžníku z vektorů

Zápatí