Matematické Fórum

Joker478 · 03. 09. 2010 14:20

Dobry den,mam priklad: urcete totalni diferencial a rovnici tecne roviny funkce z=f(x,y) definovane implicitně ronici (x^2)+(2y^2)+(3z^2)+(xy)+(-z)+(-9)=0 a vztahem Z(1,-2)=1 v bode A [1,-2)

Klasicky totalni diferencial sem pochopil....ale tohle vubec nemam tuseni... nemohl by mi nekdo poradit co s tim ????

Rumburak · 03. 09. 2010 15:45

Označíme $F(x,y,z)\,:= x^2\,+\,2y^2\,+\,3z^2\,+\,xy\,-\,z\,-\,9$ (vynechal jsem přebytečné závorky) , $C := [1, -2, f(1, -2)] = [1, -2, 1]$ ,
kde f je hladaná funkce splňijící $f(1, -2) = 1$ a $F\,(x,y,f(x,y)\,) = 0$ v okolí daného bodu $A[1, -2]$ .

Především bychom měli ověřit, že taková funkce f existuje. K tomu stačí podle věty o implicitní funkci ukázat, že je splněno

(1) $F(C) = 0$ ,
(2) $\frac{\partial F}{\partial z}(C) \,\ne \,0$ .

Pokud toto platí (a mně vychází, že ano), sestavíme rovnici $0 =F\,(x,y, f(x,y)\,)$ a tu parciálně zderivujeme (pozor, vpravo je složená funkce)
na okolí U bodu A, jehož existence je větou o IF zaručena. Obdržíme

$0 \,=\, \frac{\partial}{\partial x}F\,(x,y, f(x,y)\,) \,=\, \frac {\partial F}{\partial x}\,(x,y, f(x,y)\,) \,+\, \frac {\partial F}{\partial z}\,(x,y, f(x,y)\,)\cdot\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$
$0 \,=\, \frac{\partial}{\partial y}F\,(x,y, f(x,y)\,) \,=\, \frac {\partial F}{\partial y}\,(x,y, f(x,y)\,) \,+\, \frac {\partial F}{\partial z}\,(x,y, f(x,y)\,)\cdot\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ .

Odtud vypočteme PD funkce f . Ty jsou dle věty o IF spojité v U (neboť i PD fce F jsou spojité) a tedy funkce f má na tomto okolí totální diferenciál,
který známým způsobem vyjádříme pomocí PD fce f. Dosazením souřadnic bodu A získáme jeho hodnotu v tomto bodě.

Joker478 · 03. 09. 2010 17:42

nejak sem v tom ztracim... mohl bych poprosit o postup pri vypocetu ?...

jelena · 03. 09. 2010 20:01 — Editoval jelena (03. 09. 2010 20:03)

↑ Joker478:

neupřesňuješ v kterém kroku se objevuje problem.

1) výpočet hodnoty funkce z=... v bodě A [1,-2]?

2) vzorce pro totální diferenciál a pro tečnou rovinu

Je zřejmé, že je potřeba parciálních derivací implicitně zadané funkce - jak vysvětlil vážený kolega ↑ Rumburak:.

3) je problém s výpočtem parciálních derivací funkce zadané implicitně? - studijní text + vzor výpočtu tečné roviny nebo jiný materiál.

4) je problém se zaverečným sestavením vzorců pro konkrétní zadání?

Zkus to, prosím upřesnit.

--------
OT: je nějaký pokrok v označování témat za vyřešená? Jsou 2 základní možnosti - buď zareaguješ na příspěvky od kolegů, že je všechno jasné a není nutné v tématu pokračovat (potom on(a) se někdo hodný(á) kolega najde a zafajfkne) nebo v pravém dolním rožku prvního příspěvku tématu provedeš jeden klik. Je v tom nějaká potíž? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 03. 09. 2010 14:20

totalni diferencial

#2 03. 09. 2010 15:45

Re: totalni diferencial

#3 03. 09. 2010 17:42

Re: totalni diferencial

#4 03. 09. 2010 20:01 — Editoval jelena (03. 09. 2010 20:03)

Re: totalni diferencial

Zápatí