Matematické Fórum

7867088 · 05. 09. 2010 12:10

Dobrý den,
rozvažuji nad tím, zda mohou být okruhy polynomů a polynomická tělesa konečná. Jak je potom definováno sčítání a násobení? Přes nějaké modulární operace?
Pracuji na SOČ a mám jen matné znalosti z teorie okruhů, teorie těles či oborů integrity. Jedině snad grupy a menší struktury :-)
Doufám, že sdělím-li svou myšlenku, neudělám blbost.
Tedy, uvažuji o algebraické variantě Cramérovy domněnky. V podstatě by to mělo znamenat (napíšu to laicky, s rigorźní formulací mi bude muset někdo pomoct), že pokud je nějaká množina rovnic (polynomů?) - s proměnnými z množiny prvočísel - konečná, znamená to, že Cramérův model neplatí, neboť všechna prvočíselná řešení např. p+2=q; d+e+p=q-2 (například!!) sjednocením "dají" celou množinu P. Pokud toto sjednocení (pokrytí) potřebuje nekonečně mnoho těchto rovnic (polynomů?) řešených v prvočíslech, pak je Cramérův model správně (?). Je tato úvaha správná? Můžete ji prosím více rozebrat, napadá-li vás něco?

check_drummer · 05. 09. 2010 14:54

Jen povrchně jak definovat taková konečná tělesa:
1) koeficienty polynomu budou např. ze Zp (nebo nějakého jiného konečného tělesa - event. oboru integrity)
2) samotné polynomy v tomto konečném tělese, které vytváříme, můžeme definovat jako zbytkové třídy po dělení nějakým (pevným) ireducibilním polynomem.

Naznačil jsem stručně, možná i trochu nepřesně, tak snad mě někdo doplní. :-)

7867088 · 05. 09. 2010 15:36

↑ check_drummer:2. bod mi přijde jako klasický okruh zbytkových tříd mod n. zkusím prolistovat čerstvě nabytou literaturu (S. MacLane a G. Birkhoff :-) ), ale myslím, že jsem to tam neviděl. přesto díky, ačkoli tuhle představu už jsem měl

7867088 · 05. 09. 2010 15:39

↑ check_drummer:a ta úvaha o korespondenci tvrzení Cramérovy domněnky a o nějaké množině (která by právě ! mohla splňovat pro snažší zkoumání a manipulaci okrh ču těleso) prvočíselně řešitelných (kořeny=prvočísla - to tím míním) se zdá být správná?
Totiž, míním toto: platí-li CD pak ta množina (popř. okruh/těleso) musí být nekonečné a naopak.
Doufám, že neplácám nějaké triviální a banální "sto" let známé lemma :-)

check_drummer · 05. 09. 2010 18:28

7867088 napsal(a):
↑ check_drummer:2. bod mi přijde jako klasický okruh zbytkových tříd mod n. zkusím prolistovat čerstvě nabytou literaturu (S. MacLane a G. Birkhoff :-) ), ale myslím, že jsem to tam neviděl. přesto díky, ačkoli tuhle představu už jsem měl

Ano, je to v podstatě tak. Jen je nutné - abychom dostali konečnou strukturu - mít i koeficienty z nějaké konečné struktury.

check_drummer · 05. 09. 2010 18:29

↑ 7867088:

Nerozumím Tvému pojmu:
"pokud je nějaká množina rovnic (polynomů?) - s proměnnými z množiny prvočísel - konečná"
Mohl bys prosím uvést o jaké rovnice jde? O rovnice s celočíselnými koeficienty?

7867088 · 05. 09. 2010 19:51

↑ check_drummer:myslím že jsem to rezepsal, nejsem zdatný v rigorózní formulaci. Avšak koeficienty mohou být celá čísla, neboť mě jde o prvočíselná řešení. Neřším prvočíselná dvojčata, vážně ne :-) ale uvedu toto: q-p+2=2 nebo příjemněji p+2=q kde mě zajímají jen ta řešení, kde p a q jsou prvočísla. jak jsem uvedl, zajímá mě, jestli existuje konečný počet techto rovnic tak aby prvočíselná řešení tvořila pokrytí množiny prvočísel. je to srozumitelnější?
Proto jsem žádal o nějaké srozumitelné materiály ke sčítání a násobení polynomů modulo polynom. Toto mě tedy zajímá. Jestli existuje nějaká publikace, rád si ji v knihovně půjčím, jestli nějakou znáte.
Děkuji
PS: nepředpokládám že se do důkazu tohoto má cenu pouštět, jen by mě pro srandu skutečně zajímalo, jestli je možné, aby takové rovnice tvořily nějakou strukturu, jen si to na papíře zkusit a najít něco přibližného. Myslím si také, že problém je zbytečný a neřešitelný :-)

..a ještě drobnost, na škole nikdo z učitelů moc neví co mám na mysli a tak mi neporadí, uvítal bych proto, kdyby někdo z Pražanů byl ochotný to se mnou zkonzultovat a popřípadě (a to v nejlepším případě) to nějak formálně hodit na papír. Finanční odměna by se ale asi nekonala, nabízím pouze dobrý pocit či nějakou knihu o matematice :-)

Děkuji

check_drummer · 05. 09. 2010 20:54

7867088 napsal(a):
... zajímá mě, jestli existuje konečný počet techto rovnic tak aby prvočíselná řešení tvořila pokrytí množiny prvočísel.

Musí řešení splňovat všechny rovnice ("konjunkce" rovnic - soustava) nebo aspoň jednu ("disjunkce" rovnic)?
Musí být řešení takových rovnic jen prvočíselné nebo je povoleno, aby taková rovnice měla i neprvočíselné řešení a my si vybereme jen prvočíselná řešení? (Pokud ano, pak nabízím rovnici x=x.)
Jaký tvar má mít rovnice? Jedná se o polynomiální rovnici?

Kondr · 07. 09. 2010 22:59

Tak nějak mi přijde, že tu bloudíme kolem Matiyasevichovy věty. Jinak je zajímavé, že Mathworld cituje domněnku naprosto odlišně od Wikipedie.

Matematické Fórum

#1 05. 09. 2010 12:10

konečné okruhy polynomů

#2 05. 09. 2010 14:54

Re: konečné okruhy polynomů

#3 05. 09. 2010 15:36

Re: konečné okruhy polynomů

#4 05. 09. 2010 15:39

Re: konečné okruhy polynomů

#5 05. 09. 2010 18:28

Re: konečné okruhy polynomů

7867088 napsal(a):

#6 05. 09. 2010 18:29

Re: konečné okruhy polynomů

#7 05. 09. 2010 19:51

Re: konečné okruhy polynomů

#8 05. 09. 2010 20:54

Re: konečné okruhy polynomů

7867088 napsal(a):

#9 07. 09. 2010 22:59

Re: konečné okruhy polynomů

Zápatí