Matematické Fórum

Oberon · 03. 09. 2010 17:44 — Editoval Oberon (03. 09. 2010 20:09)

Zdarec

U potenciální energie tíhové mi je poněkud nejasné, zda když je na mne, jakou hladinu nulové pot. energie si zvolím, mohu zvolit za tuto hladinu střed planety, hvězdy apod.
Já se domnívám, že to tak lze navolit, ale potom nerozumím tomu, proč mají planety v periheliu nejvyšší a v afeliu nejnižší kin. energii. To by potom v afeliu musely mít nejvyšší energii právě tu potenciální a v periheliu nejnižší. Ale jestliže správně chápu vzorec E=mhg, tak g se rovná gravitačnímu zrychlení v tom určitém místě, které je ale nepřímo úměrné druhé mocnině h, proto by měla pot. energie s rostoucí h klesat.

Bohužel u tlakové pot. energie vůbec nechápu, odkud se ten vzorec vzal. Rozumím tomu, že proud kapaliny si odněkud tu kin. energii musel přijmout, ale proč je ten vzorec zrovna tak jak je jsem nějak nepobral. Nikde to není vysvětleno, ten vzorec v knížkách prostě je, ale kde se tam vzal nemám tucha.

(edit: zpřesnění vyjádření)

rughar · 03. 09. 2010 20:09 — Editoval rughar (03. 09. 2010 20:11)

Ahoj.

Než začít bazírovat nad jednotlivými vyjádřeními potenciální energie je dobré vědět co to je. Bez té znalosti bychom se mohli vysekat na každém druhém vzorečku.

Tak předně. Potenciální energie se vždy zavádí vedle silového pole. Silové pole znamená, že v každém bodě prostoru působí nějaká síla. Působením síly po určité dráze konáme práci. A potenciál se vždy zavádí takovým způsobem, aby platilo, že rozdíl potenciální energie ve dvou bodech prostoru je roven práci, kterou je třeba vykonat pro přesun mezi těmito body vůči působící síle v prostoru (z toho je mimochodem patrno, že potenciál můžeme zavést pouze takovým silovým polím pro které platí, že vykonaná práce v něm mezi dvěma body nezávisí na trajektorii - tedy že je silové pole konzervativní, jinak by nešla potenciální enrgie jednoznačně zavést).

Z toho je jasné, kdy vzorec E = mgh platí. Rozhodně neplatí obecně v gravitačním poli, ale v homogením gravitečním poli. V ne příliš velkých vzdálensotech od povrchu Země lze gravitační pole považovat za homogení. Ve větších vzdálenostech však nikoliv. Vyjádření potenciální energie kolem hmotného bodu nebo kulového objektu pro větší vzdálensoti je

$V = - \frac{GMm}{r}$

kde r je vzdálenost od objektu, M hmotnost hvězdy/planety, m hmotnost tělesa, a G gravitační konstanta. Z tohoto vztahu je patrno, že se vzdáleností od planety roste. Pokud znáš něco z diferenciálního počtu, pak ještě přihodím, že síla je gradientem potenciální energie (se znaménkem mínus). Neboli že síla má směr největšího poklesu potenciálu a velikost rovnou derivaci potenciálu v témže směru. Matematicky se tedy zavádí potenciál způsobem, aby platilo

$F =- \nabla V$

Co s týče té tlakové potenciální energie. Je pravda, že zde není potenciální enrgie definovaná pro dílčí body prostoru, ale jeko proměnná zde vystupuje objem kapaliny. Zde zavádíme potenciální energie tedy né mezi různými body prostoru, ale mezi různými objemy. Jinak je to totéž. Opět platí, že potenciální energie pro různé objemy ukazuje hodnotu práce, kterou je potřeba vykonat k přesunu od jednoho objemu ke druhému (od jednoho stavu ke druhému - a je teď jedno, jestli se jedná o objem nebo trajektorii v prostoru gravitačního pole nebo něco jiného)

Oberon · 03. 09. 2010 20:32 — Editoval Oberon (03. 09. 2010 20:49)

rughar napsal(a):
Vyjádření potenciální energie kolem hmotného bodu nebo kulového objektu pro větší vzdálensoti je

$V = - \frac{GMm}{r}$

To jsem v životě neviděl. Dif. počet neznám, proto jen tuším, jak se k tomu došlo: m zůstalo, h se zkrátilo s tou druhou mocninou ve jmenovateli u a(g) a ag dodalo čitateli tu hmotnost země, gr. konstantu.... Je to tak? Akorát proč to minus?
Chápu správně, že ten vztah určuje stav toho tělesa a delta toho vztahu vykonanou práci, která byla potřebná k vyzvednutí tělesa o určitou výšku v centr. grav. poli a o tuto práci klesne kin. energie toho např. satelitu stejně jako pot. energie v hom. gr. poli?

A u té tlakové pořád nechápu jak souvisí práce a objem :(

rughar · 07. 09. 2010 16:40

Oberon napsal(a):
Chápu správně, že ten vztah určuje stav toho tělesa a delta toho vztahu vykonanou práci, která byla potřebná k vyzvednutí tělesa o určitou výšku v centr. grav. poli a o tuto práci klesne kin. energie toho např. satelitu stejně jako pot. energie v hom. gr. poli?

Ano. Toto chápeš správně. Jen moc nechápu tu poslední část věty "stejně jako pot. energie v hom. gr. poli". Jestli je tím myšleno, že rozdíl potenciální energie ve dvou stavech odpovídá vykonané práci v centrálním gravitačním poli i v homogením, pak je to správně (ono je to totiž pravda vždy)

K tomu vzorci pro potenciální energii se jak ty říkáš dojít nedá. To mínus je tam docela podstatné.

Ten potenciál se odvodí tak, že nejdřív výjdeš ze vztahu pro gravitační sílu. To je empirický vztah podaný Newtonem

$F = \frac{GMm}{r^2}$

Toto je velikost síly. Směr je vždy k centru gravitace. Mám-li tedy rozepsat tři složky vektoru síly zvlášť do souřadnic x,y,z, tak to bude vypadat takto

$F = \left(-\frac{GMmx}{(x^3+y^2+z^2)^{3/2}},-\frac{GMmy}{(x^3+y^2+z^2)^{3/2}},-\frac{GMmz}{(x^3+y^2+z^2)^{3/2}}\right)$

Platí, že x^2 + y^2 + z^2 = r^2 (Pythagorova věta). Stačí si namalovat obrázek a udělat si rozklad vektoru do složek. Takže tím máme daný vektor síly v kartézských souřadnicích x,y,z. Pokud bychom chtěli nalézt potenciál, musíme hold znát diferenciální počet. Přes to bohužel v tomto případě se nedá přenést jiným způsobem. Jestli ses setkal už s pojmem derivace, tak platí rovnost (z definice)

$\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right)=-F$

Kde výraz $\frac{\partial V}{\partial x}$ značí derivaci V podle proměnné x při ostatních proměných jako konstantách. Čili hledáme V takové, pro které platí

$\left(\frac{GMmx}{(x^3+y^2+z^2)^{3/2}},\frac{GMmy}{(x^3+y^2+z^2)^{3/2}},\frac{GMmz}{(x^3+y^2+z^2)^{3/2}}\right)=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right)$

A pokud umíme derivovat, tak si ověříme, že poslední vztah je splněn pro

$V = - \frac{GMm}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Jednodušeji se k tomu bohužel dopracovat moc nedá.

A k té tlakové potenciální energii. Tak ta energie je dána vztahem

$W = pV$

(nyní značím potenciální energii W místo standartního V, aby se to nebilo s objemem). U této energie je důležité, že musíme předpokládat že tlak je konstantní! Když pak máme nějaký píst, který tlačí na kapalinu o tlaku p (a ten tlak se v průběh celého experimentu nebude měnit), tak jestliže s tím pístem vytlačím objem kapaliny $\Delta V$ , tak na to vykonám práci $\Delta W=p\Delta V$ . Podrobněji je to vysvětleno ještě zde

http://cs.wikipedia.org/wiki/Tlakov%C3% … AD_energie