Matematické Fórum

Honza · 05. 04. 2008 20:42

Každou stěnu krychle obarvíme právě jednou ze dvou různých barev.Kolik existuje různých způsobů obarvení?Úvahou mi vyšlo 10, ale nevím, jak tuto úlohu vyřešit pomocí kombinatoriky.Dík moc

dura1 · 05. 04. 2008 22:06

Jelikož má krychle 6 stran a na každou můžeš použít 2 barvy, měla by to být variace V´(6,2)= 2^6= 64.

Kondr · 06. 04. 2008 14:05

↑ dura1: Pokud by se jednalo o krychli s rozlišitelnými vrcholy, pak ano. Pokud ale máme krychli, která není nijak upevněna, musíme postupovat jinak.

Pro jednodušší popis řekněme, že ty barvy jsou bílá a černá. Za korektní povžuju rozdělení na případy podle toho, kolik stěn je bílých:
0 bílých ... 1 možnost
1 bílá ... 1 možnost
2 bílé ... 2 možnosti
3 bílé ... 2 možnosti
Pro 4,5,6 bílých je 2,1, resp. 0 černých, výsledky musí být stejné, jako by bylo 2,1 resp. 0 bílých.
Celkem máme 1+1+2+2+2+1+1=10 možností.

Pokud by jsi chtěl oslnit, můžeš použít Burnsideovo lemma, které se učí v rámci kombinatoriky až na VŠ a s nímž jde úlohu řešit i pro obecný počet barev
(pro k barev $\frac{1}{24}\left(k^6+3\times k^4+12\times k^3+8\times k^2\right)$ )
http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside's_lemma -- tam je ukázáno jak to funguje s 3 barvami.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2008 20:42

Kombinatorika

#2 05. 04. 2008 22:06

Re: Kombinatorika

#3 06. 04. 2008 14:05

Re: Kombinatorika

Zápatí