Matematické Fórum

zajda · 04. 04. 2008 10:07

Ahoj, chtěla bych pomoc s vyřešením tohoto příkladu, mám pocit, že se to spočítá soustavou dvou rovnic, ale nevím jak.

V GP je součet všech členů 16400, poslední člen je 10935 a kvocient 3. Určete první člen a počet členů.

NetFenix · 04. 04. 2008 11:01

No nevím to určitě ale možná by se to dalo počítat takto, přes dvě rce:
$10935=a_1*3^{n-1}$
$16400=a_1*\frac{3^n-1}{3-1}$

kde první rce je pro n-tý člen a druhá pro součet

dura1 · 04. 04. 2008 12:22

Takže
a1 = 5
n = 8

zajda · 04. 04. 2008 16:40

Ahoj, chtěla bych se ještě jednou vrátit k mému příkladu. O vzorcích, které jsi napsal vím, zkoušela jsem to počítat, ale pořád nevím jak počítat s tím
n-1. Mohla bych Tě ještě jednou poprosit o celý výpočet? Moc děkuju.

Saturday

http://cs.wikipedia.org/wiki/Geometrick … osloupnost

> V GP je součet všech členů 16400, poslední člen je 10935 a kvocient 3. Určete první člen a počet členů.

Dosadime do vzorce $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q-1}$ , tedy $16400 = a_1 \cdot \frac{3^n -1}{3-1}$ (máme 1. rovnici)

Vzorec pro vypocet n-teho clenu posloupnosti: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ , tedy dosadime: $10935 = a_1 \cdot 3^{n-1}$ , vyjadrime si $a_1$ z rovnice: $a_1 = \frac{10935}{3^{n-1}}$ a dosadime do prvni rovnice:

$16400 = \frac{10935}{3^{n-1}} \cdot \frac{3^n -1}{3-1}$

Upravujeme:
$\frac{16400}{10935} = \frac{1}{3^{n-1}} \cdot \frac{3^n -1}{2}$
$\frac{16400 \cdot 2}{10935} = \frac{3^n -1}{3^{n-1}}$
$\frac{16400 \cdot 2}{10935} = \frac{3^n - 1}{3^{n-1}}$ >> $3^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^n$
$\frac{16400 \cdot 2}{10935} = \frac{3 \cdot 3^n - 1}{3^n}$
$\frac{16400 \cdot 2}{10935 \cdot 3} = \frac{3^n - 1}{3^n}$ vydelime na prave strane
$\frac{16400 \cdot 2}{10935 \cdot 3} = 1 - \frac{1}{3^n}$
$- \frac{16400 \cdot 2}{10935 \cdot 3} + 1 = \frac{1}{3^n}$ prehodila se jednicka na druhou stranu a vynasobila se cela rovnice (-1)
$3^n=-\frac{1}{\frac{16400 2}{10935 3}-1}$

$3^n=6561$ => n=8 (počet členů)

První člen je z vzorce, ktery je uz vyse ( $a_1 = \frac{10935}{3^{n-1}}$ ) roven 5.

zajda · 06. 04. 2008 15:55

Ahoj, pořád se nemohu dobrat k vyřešení tohoto příkladu, už jsem z toho úplně blbá. Pořád nevím, jak jsi se dostal k číslům ve zlomku-1, 164002, 1O9353, prostě nevím jak tu první rovnici upravit, abych se dostala k výsledku. Mohla bych tě prosim tě ještě jednou poprosit o vysvětlení a úpravě té rovnice. Určitě na tom nic není, jenom nevím jak se dostat k tomu poslednímu zlomku po úpravě. Díky moc.

Saturday · 06. 04. 2008 16:10

Dopsal jsem do puvodniho prispevku ty upravy rovnice, snad je to uz jasnejsi. Pokud ne, tak se ptej, kde jsi ztratila nit :-)

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2008 10:07

Geometrická posloupnost

#2 04. 04. 2008 11:01

Re: Geometrická posloupnost

#3 04. 04. 2008 12:22

Re: Geometrická posloupnost

#4 04. 04. 2008 16:40

Re: Geometrická posloupnost

#5 04. 04. 2008 17:52 — Editoval Saturday (06. 04. 2008 16:09)

Re: Geometrická posloupnost

#6 06. 04. 2008 15:55

Re: Geometrická posloupnost

#7 06. 04. 2008 16:10

Re: Geometrická posloupnost

Zápatí