Matematické Fórum

AdamČer

dobrý den,
potřeboval bych trochu vysvětlit a ukázat jak se to vypočíta tento přiklad:
Posloupnost určenou rekurentně vyjádřete vzorcem pro n-ty člen
$a_1=1;a_n_+_1 =2a_n$

Moc děkuji

Cheop · 16. 09. 2010 14:13 — Editoval Cheop (17. 09. 2010 09:23)

↑ AdamČer:
Vypíšeme několik prvních členů posloupnosti dle předpisu
$a_1=1\nla_2=2\cdot 1=2\nla_3=2\cdot 2=4\nla_4=2\cdot 4=8\nl\cdots$
Jedná se o geometrickou posloupnost s kvocientem $q=2$ protože pro kvocient této posloupnosti platí: $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$
Pokud předpis v našem příkladu upravíme pak dostaneme:
$a_{n+1}=2a_n\nl2=\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\quad\Rightarrow \rm{geom.posloupnost}$

Pro n-tý člen geom. posloupnosti platí: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
Pro náš případ:
$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}$
$a_n=2^{n-1}$

Rumburak

Jde o geometrickou posloupnost, jejíž prvý člen je 1 a kvocient 2 .
Na základě rekurentního vzorce $a_n_+_1 =2a_n$ postupně vypočítáme
$a_2 = 2a_1 = 2\cdot 1 = 2 = 2^1$ ,
$a_3 = 2a_2 = 2\cdot 2^1 = 2^2$ ,
$a_4 = 2a_3 = 2\cdot 2^2 = 2^3$
a mohli bychom takto "libovolně dlouho" pokračovat. Z této zkušenosti se jeví, že pro obecný člen nejspíše platí vzorec $a_n = 2^{n-1}$ .
Důkaz úplnou indkcí potvrdí, že tomu tak opravdu je. Doporučuji tento důkaz samostatně provést.
Princip důkazu úplnou indukcí (jinak též matematickou indukcí) je jistě vyložen v učebním textu o posloupnostech, nejspíše i na tomto fóru
se k tomu něco najde. Kdyby byl problém, dej doplňující dotaz.

Kolega ↑ Cheop: odpověděl dříve než já a dokonce obecně, takže bych tento svůj příspěvek možná měl smazat, nicméně pro svoji zmínku
o důkazu indukcí tak neučiním.

AdamČer · 16. 09. 2010 14:52

↑ Rumburak:
mohl bych se ješte zeptat jak vim že prvni člen 1(to bude asi protože a1=1?) a jak poznám že koeficient je 2?

Cheop · 16. 09. 2010 14:56

↑ AdamČer:
V zadání je:
$a_1=1$ z toho je jasné, že první člen je roven jedné

AdamČer · 16. 09. 2010 15:07

↑ Cheop: jak poznám že koeficient je 2

Rumburak · 16. 09. 2010 15:29

↑ AdamČer:
Geometrickou posloupností nazýváme takovou posloupnost $(a_n)$ , jejíž členové vyhovují rovnici $a_n_+_1\, =\,q\cdot a_n$ ,
kde $q$ je daná konstanta (nezávislá na $n$ ) , která se nazývá KVOCIENT oné geom. posloupnosti (ne tedy koeficient,
i když ani to není úplně špatně). Slovo "kvocient" znamená "podíl" a myslí se tím podíl $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ v případech, kdy $a_n \,\ne \,0$ .
Rovnice $a_n_+_1 =2a_n$ je tedy tedy speciálním případem rovnice $a_n_+_1 =q\cdot a_n$ pro $q = 2$ .