Matematické Fórum

Měsíček · 19. 09. 2010 12:59

Pěkný den přeji, pomohli byste mi, prosím, vyřešit tyto dvě rovnice pomocí sub. metody?

a) $sqrt{\frac{2a}{a+1}}+sqrt{\frac{a+1}{2a}}=2$ ,kde by se asi měla použít subst. $z=\frac{2a}{a+1}$
b) $3sqrt{\frac{b-2}{b-1}}+2sqrt{\frac{b-1}{b-2}}+4=0$ , kde by se asi mohla použít subst. $z=\frac{b-2}{b-1}$

Děkuji všem za pomoc!

teolog · 19. 09. 2010 13:06

↑ Měsíček:
Zdravím,

nevím, jestli to vidíte, ale v první rovnici je pod první odmocninou z (podle nápovědy) a pod tou druhou je 1/z. Toté platí pro druhý příklad.
Stačí taková nápověda?

b.r.o.z1

a) substituce je zbytečná. Normálně umocníš podle vzorečku (a+b)^2
$\frac{2a}{a+1}+2\cdot\sqrt{\frac{2a}{a+1}\cdot\frac{a+1}{2a}}{}+\frac{a+1}{2a}=4$ pod odmocninou se to krátí:-)
$\frac{2a}{a+1}+2\cdot\sqrt{1}{}+\frac{a+1}{2a}=4$
$\frac{2a}{a+1}+\frac{a+1}{2a}=2$ vynásobíme (a+1) * 2a
$4a^2+a^2+2a+1=4a^2+4a$
$a^2-2a+1=0$
$a=1$
Jelikož jsme udělali neekvivalentní úpravu musíme udělat zkoušku:-)
L(1)=1+1=2
P(1)=2
Takže K={1}

Měsíček · 19. 09. 2010 13:16

>teolog, ano, tohle tam ještě vidím taky, ale vždycky se potom něják zasekám v práci s odmocninami.
>b.r.o.z1, zbytečná asi je, ale když bude test ze substitucí tak ji tam prostě použít musím :(

teolog · 19. 09. 2010 13:21 — Editoval teolog (19. 09. 2010 13:22)

↑ Měsíček:
Substituce zbytečná není, celkem usnadňuje práci.
$\sqrt z+\frac{1}{\sqrt z}=2$ rovnici vynásobíme $\sqrt z$ , nikoliv roznásobíme, to je jiná úprava
$z+1=2\sqrt z$ rovnici umocníme na druhou
$z^2+2z+2=4z$
$z^2-2z+2=0$
$(z-1)^2=0$
$z=1$

Pak zbývá dosadit do substituce a ještě sepsat podmínky.

b.r.o.z1 · 19. 09. 2010 13:23

↑ Měsíček:
ok substituce: $z=\frac{2a}{a+1}$
$sqrt{z}+sqrt{\frac{1}{z}}=2$ umocníme
$z+2\sqrt{z\cdot\frac{1}{z}}+\frac{1}{z}=4$
$z+2\sqrt{1}+\frac{1}{z}=4$
$z+\frac{1}{z}=2$
$z^2+1=2z$
$z=1$
dosadíme zpět
$1=\frac{2a}{a+1}$
$a=1$

Měsíček

b.r.o.z1 & teolog

Mnohokrát děkuji za pomoc, pomohli byste mi ale ještě vyřešit, alespoň částečně tento příklad? :

*6.45 Substitucí $u=x+\frac{1}{x}$ převeďte rovnici:

$x^2+3x-2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

na rovnici kvadratickou a vyřešte ji.

Děkuji

FailED · 19. 09. 2010 15:08 — Editoval FailED (19. 09. 2010 15:09)

↑ Měsíček:

Substituce:
$x^2+3x-2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=$x^2+2+\frac{1}{x^2}$+3$x+\frac{1}{x}$-4=$x+\frac{1}{x}$^2+3$x+\frac{1}{x}$-4=u^2+3u-4$

Měsíček · 19. 09. 2010 15:11

> FailED

Díky!

Chrpa · 19. 09. 2010 20:19

↑ Měsíček:
a)
Použil bych substituci:
$\sqrt{\frac{2a}{a+1}}=u$ dostaneme:
$sqrt{\frac{2a}{a+1}}+sqrt{\frac{a+1}{2a}}=2\nlu+\frac 1u=2\nlu^2-2u+1=0\nlu=1$
Vratka k substituci:
$\sqrt{\frac{2a}{a+1}}=u\nl\sqrt{\frac{2a}{a+1}}=1\nl\frac{2a}{a+1}=1\nl2a=a+1\nla=1$

Měsíček · 20. 09. 2010 16:07

↑ Chrpa:
Pravda, tahle substituce je příjemnější, díky!

Matematické Fórum

#1 19. 09. 2010 12:59

Substituce

#2 19. 09. 2010 13:06

Re: Substituce

#3 19. 09. 2010 13:09 — Editoval b.r.o.z1 (19. 09. 2010 13:25)

Re: Substituce

#4 19. 09. 2010 13:16

Re: Substituce

#5 19. 09. 2010 13:21 — Editoval teolog (19. 09. 2010 13:22)

Re: Substituce

#6 19. 09. 2010 13:23

Re: Substituce

#7 19. 09. 2010 14:55 — Editoval Měsíček (19. 09. 2010 14:55)

Re: Substituce

#8 19. 09. 2010 15:08 — Editoval FailED (19. 09. 2010 15:09)

Re: Substituce

#9 19. 09. 2010 15:11

Re: Substituce

#10 19. 09. 2010 20:19

Re: Substituce

#11 20. 09. 2010 16:07

Re: Substituce

Zápatí