Matematické Fórum

Skrytý text:

Unitární matice mají v řádcích jednotkové vektory. Když dva takové vektory sečtu a součet vydělím dvěma (násobím 1/2), dostanu vektor délky menší nebo rovné 1. Tedy v každém řádku matice A+B mám 2x"vektor délky 1 nebo menší". Při výpočtu determinantu po vytknutí 2 z každého řádku A+B mám: 2^n.det C, kde C má v řádcích jen vektory délky menší nebo rovny jedné.

Zbývá ukázat, že |det C| <= 1. Zkusím stručně, protože už je pozdě. :-) Využiju, že pro vektory x, y, z |x|<=1,|y|<=1 je |x.y| (cauchyho nerovnost). Tedy i má v řádcích jen vektory délky menší nebo rovny jedné (C(0)=C). Takto postupujme libovolně dlouho () až dospějeme k matici C(m) (popíši dále). Pokud je |det C| > 1, pak lze volit |det(C(m))| libovolně velký (|det C(m)|=|det C|^{m+1}) (tex píše det jako abs, takže radši volím zápis bez texu). Což je spor, protože hodnota det(C) je omezená - jelikož každý prvek matice C je omezený (v absolutní hodnotě je nejvýše 1 - jinak by odpovídající řádkový vektor měl délku větší než 1) a tedy |det C| je z definice determinantu a uvedeného omezení nejvýše n!.

Skrytý text:

↑ BrozekP:
Je to tak, spletl jsem si v nočních hodinách prvek a řádek matice. :-)

Skrytý text:

Riešenie bude veľmi jednoduché. Stačí



Uvedomíme si, že matica je tiež unitárna. Vlastné čísla sú . Vlastné čísla matice budú . Teraz dokončíme odhad