Matematické Fórum

jendula11

Určete a znázorněte množinu $M=\{\frac{1}{z}:z \epsilon \Omega\}$
$\Omega=\{z\epsilon C: arg z=\alpha\}, \alpha \epsilon (-\pi , \pi)$

Předem děkuji za pomoc, aspon nástin řešení, řešil jsem podobné věci ale nevím jak tady s tím argumentem

Stýv · 22. 09. 2010 19:02

arg(z) je orientovaný úhel, který svírá úsečka 0z s kladnou poloosou x. např. arg(1)=0, arg(1+i)=pi/4, arg(i)=pi/2, arg(-1)=pi, arg(-i)=-pi/2

teolog · 22. 09. 2010 19:07 — Editoval teolog (22. 09. 2010 19:08)

↑ jendula11:
Tak nejprve jak asi vypadá množina $\Omega$ ?
Je to množina všech komplexních čísel, jejichž argument je z intervalu $(-\pi;\pi)$ . Vzhledem k tomu, že uvedený interval je otevřený, do $\Omega$ nepatří komplexní čísla ve tvaru $a+bi$ , kde $a\leq0 \wedge b=0$ , tedy komplexní čísla, jejichž argument je $\pi$ . Takže množinu si lze představit jako celou komplexní rovinu kromě počátku a záporné části reálné osy.

A nyní množina $M$ .
$\frac1z=\frac{1}{a+bi}\cdot\frac{a-bi}{a-bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$ .
Každé komplexní číslo $a+bi$ z množiny $\Omega$ se v množině $M$ zobrazí ve tvaru $\frac{a-bi}{a^2+b^2}$ .
$a-bi$ znamená, že komplexní čísla z $\Omega$ a $M$ jsou navzájem komplexně sdružená.
Dělení výrazem $a^2+b^2$ znamená posunutí komplexního čísla blíže nebo dále od počátku. Je to vlastně tzv. kruhová inverze, kdy se body uvnitř jednotkového kruhu zobrazí na vnější body a vnější body se zobrazí na ty uvnitř. Body na kruhu zůstavají na místě (protože $a^2+b^2=1$ .
Množina $M$ je tedy stejná, jako množina $\Omega$ s výjimkou nuly. Ale protože $\Omega$ nulu neobsahuje, dovolím si tvrdit, že množiny $\Omega$ a $M$ jsou shodné.

Tedy podle mého skromného názoru je $M$ množina celé komplexní roviny s výjimkou záporné části reálné osy a nuly.

Prosím matematiky o případnou opravu.

Rumburak

↑ jendula11:, ↑ teolog:
Já jsem úlohu pochopil tak, že je dáno číslo $\alpha \in (-\pi , \pi)$ a dále se pracuje s množinou $\Omega=\Omega_{\alpha} = \{z\in \mathbb{C}: \,\arg \,z=\alpha\}$ .

Zřejmě platí

(1) $z\in\Omega_{\alpha}$ , právě když existuje $r>0$ takové, že $z =r(\cos \,\alpha \,+\, i\,\sin\,\alpha)$ .

Jak si množinu $\Omega_{\alpha}$ , představit ? Nejprve uvažujme v G. r. polopřímku $P_{\alpha}$ s počátečním bodem 0 a procházející bodem $\cos \,\alpha \,+\, i\,\sin\,\alpha$ .
Množinu $\Omega_{\alpha}$ dostanene tak, že z polopřímky $P_{\alpha}$ vyjmeme bod 0, tj. $\Omega_{\alpha}=P_{\alpha} - \{\,0\,\}$ (argument je definován pouze pro nenulová k.č. ,
proto 0 nemůže být prvkem $\Omega_{\alpha}$ .) .

Dokončení:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jendula11

Děkuji za příspěvky, ve škole jsme podobné příklady řešili jako to dělal teolog.

Jen bych se ještě chtěl zeptat jak se přijde na to že $a^2+b^2=1$ asi mám dlouhé vedení, ale nějak mi to nevychází.

Děkuji

Rumburak

↑ jendula11:
Podmínku $a^2+b^2=1$ ↑ teolog: uvádí (bohužel ovšem chybně) v souvislosti s "body na (jednotkovém) kruhu" , mínil tím však patrně
body na hranici jednotkového kruhu, jímž je jednotková kružnice.
Kolega se mýlí rovněž v tvrzení, že operací $f(z)\,:= \frac{1}{z}$ uvedené body "zůstávají na místě". Navíc se domnívám, že kruhovou inverzí
vzhledem k uvažované jednotkové kružnici je zobrazení $g(z) \,:= \frac{1}{\,\overline{z}\,}$ a nikoliv $f(z) \,:= \frac{1}{z}$ .

Matematické Fórum

#1 22. 09. 2010 17:20 — Editoval jendula11 (22. 09. 2010 17:30)

gaussova rovina

#2 22. 09. 2010 19:02

Re: gaussova rovina

#3 22. 09. 2010 19:07 — Editoval teolog (22. 09. 2010 19:08)

Re: gaussova rovina

#4 23. 09. 2010 10:43 — Editoval Rumburak (23. 09. 2010 11:04)

Re: gaussova rovina

#5 27. 09. 2010 10:07 — Editoval jendula11 (27. 09. 2010 10:08)

Re: gaussova rovina

#6 27. 09. 2010 11:31 — Editoval Rumburak (27. 09. 2010 15:19)

Re: gaussova rovina

Zápatí