Matematické Fórum

Pavel · 24. 09. 2010 12:56

Najděte největší člen v binomickém rozvoji

$\Large (\sqrt 2 + \sqrt 3)^{50}$

Mr.Pinker

${50 \choose 25}\cdot {\sqrt 2}^{25}\cdot{sqrt 3}^{25}$

mám pocit že tenhle

edit: jo jistě sorry přepsal sem se ale mám pocit že tohle bude největší jelikož to kombinační číslo je číslo tady nejvatší a oproti tomu mi ty odmocniny přijdou zanedbatelný
jelikož když číslo bude o jednu posunuto tak sice bude $\sqrt 2$ respektivě $\sqrt 3$ krát větší ale zase bude 25x menší

Pavel Brožek · 24. 09. 2010 13:50

↑ Mr.Pinker:

Ne, i kdybys tam místo sčítání měl násobení :-)

Mr.Pinker · 24. 09. 2010 14:11

tak to by mě zajímalo teda ktreej to je

Stýv · 24. 09. 2010 14:45

když sv. václav, tak tipuju ${50 \choose 28}\cdot {\sqrt 2}^{22}\cdot{sqrt 3}^{28}$ :)

jarrro · 24. 09. 2010 14:54 — Editoval jarrro (24. 09. 2010 14:58)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek · 24. 09. 2010 15:41

↑ jarrro:

Proč zrovna $\left\lfloor k_0\right\rfloor$ a ne $\left\lceil k_0\right\rceil$ ?

jarrro · 24. 09. 2010 16:06 — Editoval jarrro (03. 05. 2017 10:46)

↑ BrozekP:dobrá otázka. ani neviem,asi by bolo správnejšie napísať $\max\{2^{25}{{50}\choose{\left\lfloor k_0 \right\rfloor}}\(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{\left\lfloor k_0 \right\rfloor},2^{25}{{50}\choose{\lceil k_0\rceil}}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{\lceil k_0 \rceil}\}$ nie?

Pavel · 09. 10. 2010 11:56

↑ Mr.Pinker:

Právě že ty odmocniny, i když se zdají být zanedbatelné, posunou řešení mimo centrální člen binomického rozvoje obsahující binomický koeficient ${50 \choose 25}$

↑ Stýv:

Správný odhad :-)

↑ jarrro:

Nejsem si jistý rovnicí

$2^{25}{{50}\choose{k+1}}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{k+1}=2^{25}{{50}\choose{k}}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^k.$

Protože existuje-li největší člen uvedeného binomického rozvoje, není nikde psáno, že těch členů je víc než jeden.

Ukážu řešení:

Je třeba opravdu vyšetřovat poslupnost

$a_k:={50\choose k}\left(\sqrt{2}\right)^{50-k}\left(\sqrt{3}\right)^k,\qquad k\in\{0,1,\ldots,49,50\}$

a hledat takový index $k$ , v němž se mění charakter posloupnosti z rostoucí na klesající. Najdeme tedy největší index $k$ takový, že platí nerovnost

$\frac{a_{k+1}}{a_k}\geq 1.$

Vyřešíme tuto nerovnici a zjistíme, že $k<\frac{50-\sqrt{\frac 23}}{1+\sqrt{\frac 23}}=27{,}07\ldots$

Tzn. největší index, pro který nerovnost platí, je $k=27$ , tzn. největší člen je

${50\choose 28}\left(\sqrt{2}\right)^{22}\left(\sqrt{3}\right)^{28}$