Matematické Fórum

b.r.o.z1

Na intervalu $<0;\2pi>$ řešte nerovnici:

$2<2cos^2x+\sqrt3sinx$

Moje řešení:
využiju: $sin^2x+cos^2x=1$
$2<2(1-sin^2x)+\sqrt3sinx$
$2<2-2sin^2x+\sqrt3sinx$
$0<-2sin^2x+\sqrt3sinx$ a teď přichází můj problém:
a) vynásobím nerovnici -1 => $0>2sin^2x-\sqrt3sinx$ otázka zní - lze to takto? protože pak mi nevychází správné řešení?
b) vytknu sin x => $0<sinx(-2sinx+\sqrt3)$
dořeším
$sinx>0$ => $x\in (0;\pi)$
$-2sinx+\sqrt3>0$
$sinx<\frac{sqrt3}{2}$ => $x\in (0;\frac{\pi}{3})\cup (\frac{2\pi}{3};\pi)$
=> $x\in(0;\frac{\pi}{3})\cup (\frac{2\pi}{3};\pi)$ což je dle výsledků správně

Děkuji za pomoc:-)

jelena · 25. 09. 2010 08:50

↑ b.r.o.z1:

Zdravím,

je to trochu nepřehledné (je příliš brzké ráno), navíc se mi zdá, že neuvažuješ 2. možnost pro řešení nerovnice v součinovém tvaru. Postupovala bych takto:

$2<2cos^2x+\sqrt3\sin x$
$2-2cos^2x-\sqrt3\sin x<0$
$2sin^2x-\sqrt3\sin x<0$
$\sin x(2\sin x-\sqrt3)<0$

teď řešíme 2 možností: $\sin x<0$ a zároveň $2\sin x-\sqrt3>0$ NEBO $\sin x>0$ a zároveň $2\sin x-\sqrt3<0$

Překontroluj si to ještě jednou, prosím.