Matematické Fórum

dan258 · 26. 09. 2010 22:46

Dobrý den,

nenašel by se někdo, kdo by mi pomohl s tímto důkazem?
Nedaří se mi ukázat nerovnost v kroku č.2.

Dokažte, že pro všechna přirozená n, která jsou větší než 4, platí n^(n+1) > (n+1)^n

1. krok: 81 = 3^4 > 4^3 = 64

2. krok: (n+1)^(n+2) > (n+2)^(n+1)

Děkuji moc.

Olin · 27. 09. 2010 10:44 — Editoval Olin (27. 09. 2010 10:45)

Asi nejlepší bude převést indukční krok do tvaru

$n+1 \, > \, $\frac{n+2}{n+1}$^{n+1}$

a dále využít triviálního odhadu

$\frac{n+2}{n+1} \, < \, \frac{n+1}{n}$ ,

takže nám stačí dokazovat

$n+1 \, > \, $\frac{n+1}{n}$^{n+1}$ ,

což se už snadno převede na indukční předpoklad.

Jinak uvedená nerovnost se dá dokazovat i mnoha jinými způsoby než indukcí - např. pomocí binomické věty dostaneme

$(n+1)^n = n^n + {n \choose 1}n^{n-1} + \dots + {n \choose n-1} n + 1$

a odhady ${n \choose k} \leq n^k$ (kde pro $k \geq 2$ nastává ostrá nerovnost) dostaneme požadovanou nerovnost.

Ještě jinou možností je použít nerovnost mezi aritmetickým a harmonickým průměrem - podle té je

$\frac{n+1}{n} = \frac{n+1}{\underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_n + \frac 12 + \frac 12} \leq \sqrt[n+1]{1 \cdot 1 \dots 1 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt[n+1]{4}$ ,

takže $$ \frac{n+1}{n} $^n \leq $ \sqrt[n+1]{4} $^n < \, 4$ .

Matematické Fórum

#1 26. 09. 2010 22:46

Důkaz matematickou indukcí

#2 27. 09. 2010 10:44 — Editoval Olin (27. 09. 2010 10:45)

Re: Důkaz matematickou indukcí

Zápatí