Matematické Fórum

s-o-k-o-l · 28. 09. 2010 14:22

Ahoj,
potřeboval bych se zeptat nějaké hodné duše, jak hnout s tímto příkladem. http://yfrog.com/j7ma1pj Není mi vůbec jasné, jak se přišlo na tu nápovědu, na tu nerovnost.
Díky moc za odpověď

FailED · 28. 09. 2010 15:32 — Editoval FailED (28. 09. 2010 15:39)

Zadání: $\forall n\in \mathbf{N}, \,\, n>1:\quad \frac12\, \cdot\, \frac34\, \cdot \, \cdot \, \cdot\, \frac{2n-1}{2n} \, < \,\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

↑ s-o-k-o-l:
Pomůže když tu nápovědu přepíšu jako $\frac{2\cdot (n+1)-1}{2\cdot (n+1)}\, <\, \frac{\sqrt{3n+1}}{1}\,\cdot\,\frac{1}{\sqrt{3\cdot (n+1) +1}}$ ?

Pavel Brožek · 28. 09. 2010 15:39

Předpokládejme, že nerovnost pro n platí. Chceme ukázat, že platí pro n+1, tedy

$\frac12\cdot\frac34\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}<\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}$ ,

po úpravě

(1) $\frac12\cdot\frac34\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}<\frac{1}{\sqrt{3n+4}}$ .

Z indukčního předpokladu $\frac12\cdot\frac34\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{3n+1}}$ plyne (vynásobení obou stran nerovnosti výrazem $\frac{2n+1}{2n+2}$ )

(2) $\frac12\cdot\frac34\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}<\frac1{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}$ .

Když dokážeme

(3) $\frac1{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}<\frac{1}{\sqrt{3n+4}}$ ,

můžeme nerovnosti (2) a (3) spojit a dostaneme nerovnost (1), kterou se snažíme dokázat. A právě ta nerovnost (3) je ta, co máš podle nápovědy dokázat.

Matematické Fórum

#1 28. 09. 2010 14:22

Matematická indukce - nerovnice PROBLÉM

#2 28. 09. 2010 15:32 — Editoval FailED (28. 09. 2010 15:39)

Re: Matematická indukce - nerovnice PROBLÉM

#3 28. 09. 2010 15:39

Re: Matematická indukce - nerovnice PROBLÉM

Zápatí